(转)---再说卷积
為什么80%的碼農都做不了架構師？>>> ??
信號處理中的一個重要運算是卷積.初學卷積的時候,往往是在連續的情形,
兩個函數f(x),g(x)的卷積,是∫f(u)g(x-u)du
當然，證明卷積的一些性質并不困難，比如交換，結合等等，但是對于卷積運算的來處，初學者就不甚了了。
其實，從離散的情形看卷積，或許更加清楚，
對于兩個序列f[n],g[n],一般可以將其卷積定義為s[x]= ∑f[k]g[x-k]
卷積的一個典型例子,其實就是初中就學過的多項式相乘的運算,
比如(x*x+3*x+2)(2*x+5)
一般計算順序是這樣,
(x*x+3*x+2)(2*x+5)
= (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5
= 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10
然后合并同類項的系數,
2 x*x*x
3*2+1*5 x*x
2*2+3*5 x
2*5
----------
2*x*x*x+11*x*x+19*x+10
實際上,從線性代數可以知道,多項式構成一個向量空間,其基底可選為
{1,x,x*x,x*x*x,...}
如此,則任何多項式均可與無窮維空間中的一個坐標向量相對應,
如,(x*x+3*x+2)對應于
(1 3 2),
(2*x+5)對應于
(2,5).
線性空間中沒有定義兩個向量間的卷積運算,而只有加法,數乘兩種運算,而實際上,多項式的乘法,就無法在線性空間中說明.可見線性空間的理論多么局限了.
但如果按照我們上面對向量卷積的定義來處理坐標向量,
(1 3 2)*(2 5)
則有
2 3 1
_ _ 2 5
--------
? ?2
2 3 1
_ 2 5
-----
?6+5=11
2 3 1
2 5
-----
4+15 =19
_ 2 3 1
2 5
-------
?10
或者說,
(1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10)
回到多項式的表示上來,
(x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10
似乎很神奇,結果跟我們用傳統辦法得到的是完全一樣的.
換句話,多項式相乘,相當于系數向量的卷積.
其實,琢磨一下,道理也很簡單,
卷積運算實際上是分別求 x*x*x ,x*x,x,1的系數，也就是說，他把加法和求和雜合在一起做了。(傳統的辦法是先做乘法，然后在合并同類項的時候才作加法)
以x*x的系數為例，得到x*x，或者是用x*x乘5，或者是用3x乘2x,也就是
2 3 1
_ 2 5
-----
6+5=11
其實,這正是向量的內積.如此則,卷積運算,可以看作是一串內積運算.既然是一串內積運算，則我們可以試圖用矩陣表示上述過程。
[ 2 3 1 0 0 0]
[ 0 2 3 1 0 0]==A
[ 0 0 2 3 1 0]
[ 0 0 0 2 3 1]
[0 0 2 5 0 0]' == x
b= Ax=[ 2 11 19 10]'
采用行的觀點看Ax,則b的每行都是一個內積。
A的每一行都是序列[2 3 1]的一個移動位置。
---------
顯然,在這個特定的背景下,我們知道,卷積滿足交換,結合等定律,因為,眾所周知的,多項式的乘法滿足交換律,結合律.在一般情形下,其實也成立.
在這里,我們發現多項式,除了構成特定的線性空間外,基與基之間還存在某種特殊的聯系,正是這種聯系,給予多項式空間以特殊的性質.
在學向量的時候，一般都會舉這個例子，甲有三個蘋果，5個橘子，乙有5個蘋果，三個橘子，則共有幾個蘋果，橘子。老師反復告誡，橘子就是橘子，蘋果就是蘋果，可不能混在一起。所以有(3,5)+(5,3)=(8,8).是的，橘子和蘋果無論怎么加，都不會出什么問題的，但是，如果考慮橘子乘橘子，或者橘子乘蘋果，這問題就不大容易說清了。
又如復數,如果僅僅定義復數為數對（a,b),僅僅在線性空間的層面看待C2,那就未免太簡單了。實際上，只要加上一條(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
則情況馬上改觀，復變函數的內容多么豐富多彩，是眾所周知的。
另外，回想信號處理里面的一條基本定理,頻率域的乘積,相當于時域或空域信號的卷積.恰好跟這里的情形完全對等.這后面存在什么樣的隱態聯系,需要繼續參詳.
從這里看,高等的卷積運算其實不過是一種初等的運算的抽象而已.中學學過的數學里面，其實還蘊涵著許多高深的內容（比如交換代數）。溫故而知新,斯言不謬.
其實這道理一點也不復雜，人類繁衍了多少萬年了，但過去n多年，人們只知道男女媾精，乃能繁衍后代。精子，卵子的發現，生殖機制的研究，也就是最近多少年的事情。
孔子說，道在人倫日用中，看來我們應該多用審視的眼光看待周圍，乃至自身，才能知其然，而知其所以然。?
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《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀總結
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