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信號處理中的一個重要運算是卷積.初學卷積的時候,往往是在連續的情形,

　　兩個函數f(x),g(x)的卷積,是∫f(u)g(x-u)du

　　當然，證明卷積的一些性質并不困難，比如交換，結合等等，但是對于卷積運算的來處，初學者就不甚了了。

　　

　　其實，從離散的情形看卷積，或許更加清楚，

　　對于兩個序列f[n],g[n],一般可以將其卷積定義為s[x]= ∑f[k]g[x-k]

　　

　　卷積的一個典型例子,其實就是初中就學過的多項式相乘的運算,

　　比如(x*x+3*x+2)(2*x+5)

　　一般計算順序是這樣,

　　(x*x+3*x+2)(2*x+5)

　　= (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5

　　= 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10

　　然后合并同類項的系數,

　　2 x*x*x

　　3*2+1*5 x*x

　　2*2+3*5 x

　　2*5

　　----------

　　2*x*x*x+11*x*x+19*x+10

　　

　　實際上,從線性代數可以知道,多項式構成一個向量空間,其基底可選為

　　{1,x,x*x,x*x*x,...}

　　如此,則任何多項式均可與無窮維空間中的一個坐標向量相對應,

　　如,(x*x+3*x+2)對應于

　　(1 3 2),

　　(2*x+5)對應于

　　(2,5).

　　

　　線性空間中沒有定義兩個向量間的卷積運算,而只有加法,數乘兩種運算,而實際上,多項式的乘法,就無法在線性空間中說明.可見線性空間的理論多么局限了.

　　但如果按照我們上面對向量卷積的定義來處理坐標向量,

　　(1 3 2)*(2 5)

　　則有

　　2 3 1

　　_ _ 2 5

　　--------

　　 ? ?2

　　

　　

　　2 3 1

　　_ 2 5

　　-----

　　 ?6+5=11

　　

　　2 3 1

　　2 5

　　-----

　　4+15 =19

　　

　　

　　_ 2 3 1

　　2 5

　　-------

　　 ?10

　　

　　 或者說,

　　(1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10)

　　

　　回到多項式的表示上來,

　　(x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10

　　

　　似乎很神奇,結果跟我們用傳統辦法得到的是完全一樣的.

　　換句話,多項式相乘,相當于系數向量的卷積.

　　

　　其實,琢磨一下,道理也很簡單,

　　卷積運算實際上是分別求 x*x*x ,x*x,x,1的系數，也就是說，他把加法和求和雜合在一起做了。(傳統的辦法是先做乘法，然后在合并同類項的時候才作加法)

　　以x*x的系數為例，得到x*x，或者是用x*x乘5，或者是用3x乘2x,也就是

　　2 3 1

　　_ 2 5

　　-----

　　 6+5=11

　　其實,這正是向量的內積.如此則,卷積運算,可以看作是一串內積運算.既然是一串內積運算，則我們可以試圖用矩陣表示上述過程。

　　

　　[ 2 3 1 0 0 0]

　　[ 0 2 3 1 0 0]==A

　　[ 0 0 2 3 1 0]

　　[ 0 0 0 2 3 1]

　　

　　[0 0 2 5 0 0]' == x

　　

　　b= Ax=[ 2 11 19 10]'

　　

　　采用行的觀點看Ax,則b的每行都是一個內積。

　　A的每一行都是序列[2 3 1]的一個移動位置。

　　

　　---------

　　

　　顯然,在這個特定的背景下,我們知道,卷積滿足交換,結合等定律,因為,眾所周知的,多項式的乘法滿足交換律,結合律.在一般情形下,其實也成立.

　　

　　在這里,我們發現多項式,除了構成特定的線性空間外,基與基之間還存在某種特殊的聯系,正是這種聯系,給予多項式空間以特殊的性質.

　　

　　在學向量的時候，一般都會舉這個例子，甲有三個蘋果，5個橘子，乙有5個蘋果，三個橘子，則共有幾個蘋果，橘子。老師反復告誡，橘子就是橘子，蘋果就是蘋果，可不能混在一起。所以有(3,5)+(5,3)=(8,8).是的，橘子和蘋果無論怎么加，都不會出什么問題的，但是，如果考慮橘子乘橘子，或者橘子乘蘋果，這問題就不大容易說清了。

　　

　　又如復數,如果僅僅定義復數為數對（a,b),僅僅在線性空間的層面看待C2,那就未免太簡單了。實際上，只要加上一條(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

　　則情況馬上改觀，復變函數的內容多么豐富多彩，是眾所周知的。

　　

　　另外，回想信號處理里面的一條基本定理,頻率域的乘積,相當于時域或空域信號的卷積.恰好跟這里的情形完全對等.這后面存在什么樣的隱態聯系,需要繼續參詳.

　　

　　從這里看,高等的卷積運算其實不過是一種初等的運算的抽象而已.中學學過的數學里面，其實還蘊涵著許多高深的內容（比如交換代數）。溫故而知新,斯言不謬.

　　

　　其實這道理一點也不復雜，人類繁衍了多少萬年了，但過去n多年，人們只知道男女媾精，乃能繁衍后代。精子，卵子的發現，生殖機制的研究，也就是最近多少年的事情。

　　

　　孔子說，道在人倫日用中，看來我們應該多用審視的眼光看待周圍，乃至自身，才能知其然，而知其所以然。?

轉載于:https://my.oschina.net/itfanr/blog/359144

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的(转)---再说卷积的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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