對(duì)于初學(xué)數(shù)字信號(hào)（Digital Signal Processing，DSP）的人來說，這幾種變換是最為頭疼的，它們是數(shù)字信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)，貫穿整個(gè)信號(hào)的處理。

FS：時(shí)域上任意連續(xù)的周期信號(hào)可以分解為無限多個(gè)正弦信號(hào)之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號(hào)，即時(shí)域連續(xù)周期對(duì)應(yīng)頻域離散非周期的特點(diǎn)，這就是傅立葉級(jí)數(shù)展開（Fourier Series，FS），它用于分析連續(xù)周期信號(hào)。

FT：是傅立葉變換（Fourier Transform，FT），它主要用于分析連續(xù)非周期信號(hào)，由于信號(hào)是非周期的，它必包含了各種頻率的信號(hào)，所以具有時(shí)域連續(xù)非周期對(duì)應(yīng)頻域連續(xù)非周期的特點(diǎn)。

FS和FT 都是用于連續(xù)信號(hào)頻譜的分析工具，它們都以傅立葉級(jí)數(shù)理論問基礎(chǔ)推導(dǎo)出的。時(shí)域上連續(xù)的信號(hào)在頻域上都有非周期的特點(diǎn)，但對(duì)于周期信號(hào)和非周期信號(hào)又有在頻域離散和連續(xù)之分。

在自然界中除了存在溫度，壓力等在時(shí)間上連續(xù)的信號(hào)，還存在一些離散信號(hào)，離散信號(hào)可經(jīng)過連續(xù)信號(hào)采樣獲得，也有本身就是離散的。例如，某地區(qū)的年降水量或平均增長(zhǎng)率等信號(hào)，這類信號(hào)的時(shí)間變量為年，不在整數(shù)時(shí)間點(diǎn)的信號(hào)是沒有意義的。用于離散信號(hào)頻譜分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。

DTFT：是離散時(shí)間傅立葉變換（Discrete-time Fourier Transform，DTFT） ，它用于離散非周期序列分析，根據(jù)連續(xù)傅立葉變換要求連續(xù)信號(hào)在時(shí)間上必須可積這一充分必要條件，那么對(duì)于離散時(shí)間傅立葉變換，用于它之上的離散序列也必須滿足在時(shí)間軸上級(jí)數(shù)求和收斂的條件；由于信號(hào)是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號(hào)，所以DTFT對(duì)離散非周期信號(hào)變換后的頻譜為連續(xù)的，即有時(shí)域離散非周期對(duì)應(yīng)頻域連續(xù)周期的特點(diǎn)。

當(dāng)離散的信號(hào)為周期序列時(shí)，嚴(yán)格的講，傅立葉變換是不存在的，因?yàn)樗粷M足信號(hào)序列絕對(duì)級(jí)數(shù)之和收斂（絕對(duì)可和）這一傅立葉變換的充要條件，但是采用離散傅立葉級(jí)數(shù)（Discrete Fourier Series ，DFS）這一分析工具仍然可以對(duì)其進(jìn)行傅立葉分析。

我們知道周期離散信號(hào)是由無窮多相同的周期序列在時(shí)間軸上組成的，假設(shè)周期為N，即每個(gè)周期序列都有N個(gè)元素，而這樣的周期序列有無窮多個(gè)，由于無窮多個(gè)周期序列都相同，所以可以只取其中一個(gè)周期就足以表示整個(gè)序列了，這個(gè)被抽出來表示整個(gè)序列特性的周期稱為主值周期，這個(gè)序列稱為主值序列。然后以N對(duì)應(yīng)的頻率作為基頻構(gòu)成傅立葉級(jí)數(shù)展開所需要的復(fù)指數(shù)序列ek(n)=e?j2πnk/N，用主值序列與復(fù)指數(shù)序列（代表各個(gè)頻率的基序列）取相關(guān)（乘加運(yùn)算），得出每 個(gè)主值在各頻率上的頻譜分量，這樣就表示出了周期序列的頻譜特性。

根據(jù)DTFT，對(duì)于有限長(zhǎng)序列作Z變換（Z-transformation）或離散傅立葉變換都是可行的，或者說有限長(zhǎng)序列的頻域和復(fù)頻域分析在理論上都已經(jīng)解決；但對(duì)于數(shù)字系統(tǒng)，無論是Z變換還是離散傅立葉變換的適用方面都存在一些問題，重要是因?yàn)轭l率變量的連續(xù)性性質(zhì)（DTFT變換出連續(xù)頻譜），不便于數(shù)字運(yùn)算和儲(chǔ)存。

參考DFS，可以采用類似DFS的分析方法對(duì)解決以上問題。可以把有限長(zhǎng)非周期序列假設(shè)為一無限長(zhǎng)周期序列的一個(gè)主直周期，即對(duì)有限長(zhǎng)非周期序列進(jìn)行周期延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS進(jìn)行處理，即采用復(fù)指數(shù)基頻序列和此有限長(zhǎng)時(shí)間序列取相關(guān)，得出每個(gè)主值在各頻率上的頻譜分量以表示出這個(gè)“主值周期”的頻譜信息。

由于DFT借用了DFS，這樣就假設(shè)了序列的周期無限性，但在處理時(shí)又對(duì)區(qū)間作出限定（主值區(qū)間），以符合有限長(zhǎng)的特點(diǎn)，這就使DFT帶有了周期性。另 外，DFT只是對(duì)一周期內(nèi)的有限個(gè)離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當(dāng)于DTFT變換成連續(xù)頻譜后再對(duì)其采樣，此時(shí)采樣頻率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的個(gè)數(shù)。

引入一篇博客中的圖組，來進(jìn)一步說明：

補(bǔ)充兩條性質(zhì)：

1 在一個(gè)域的相乘等于另一個(gè)域的卷積

2 與脈沖函數(shù)的卷積，在每個(gè)脈沖的位置上將產(chǎn)生一個(gè)波形的鏡像

首先來說圖(1)和圖(2)，對(duì)于一個(gè)模擬信號(hào)，如圖(1)所示，要分析它的頻率成分，必須變換到頻域，這是通過傅立葉變換（FT）得到的，于是有了模擬信號(hào)的頻譜，如圖(2)。（PS：此時(shí)時(shí)域和頻域都是連續(xù)的！）

計(jì)算機(jī)只能處理數(shù)字信號(hào)，需要將原模擬信號(hào)在時(shí)域離散化，即在時(shí)域?qū)ζ溥M(jìn)行采樣，采樣脈沖序列如圖(3)所示，該采樣序列的頻譜如圖(4)，可見它的頻譜也是一系列的脈沖。所謂時(shí)域采樣，就是在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行相乘，(1)×(3)后可以得到離散時(shí)間信號(hào)x[n]，如圖(5)所示。由性質(zhì)1知，時(shí)域的相乘相當(dāng)于頻域的卷積，那么，圖(2)與圖(4)進(jìn)行卷積，由于性質(zhì)2，在每個(gè)脈沖的位置上將產(chǎn)生一個(gè)波形的鏡像，于是得到圖(6)，它就是圖(5)所示離散時(shí)間信號(hào)x[n]的DTFT。（PS：此時(shí)時(shí)域是離散的，而頻域依然是連續(xù)的。)

經(jīng)過上面兩個(gè)步驟，我們得到的信號(hào)依然不能被計(jì)算機(jī)處理，因?yàn)轭l域既連續(xù)，又周期。我們自然就想到，既然時(shí)域可以采樣，為什么頻域不能采樣呢？這樣不就時(shí)域與頻域都離散化了嗎？沒錯(cuò)，接下來對(duì)頻域在進(jìn)行采樣，頻域采樣信號(hào)的頻譜如圖(8)所示，它的時(shí)域波形如圖(7)。現(xiàn)在我們進(jìn)行頻域采樣，即頻域相乘，圖(6)×圖(8)得到圖(10)，由性質(zhì)1，頻域相乘相當(dāng)于時(shí)域卷積，圖(5)和圖(7)卷積得到圖(9)，不出所料的，鏡像會(huì)呈周期性出現(xiàn)在各個(gè)脈沖點(diǎn)處。我們?nèi)D(10)周期序列的主值區(qū)間，并記為X(k)，它就是序列x[n]的DFT。可見，DFT只是為了計(jì)算機(jī)處理方便，在頻率域?qū)TFT進(jìn)行的采樣并截取主值而已。有人可能疑惑，對(duì)圖(10)進(jìn)行IDFT（逆離散傅里葉變換），回到時(shí)域即圖(9)，它與原離散信號(hào)圖(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的周期性延拓！沒錯(cuò)，因此你去查找一個(gè)IDFT的定義式，是不是對(duì)n的取值區(qū)間進(jìn)行限制了呢？這一限制的含義就是，取該周期延拓序列的主值區(qū)間，即可還原x[n]！

FFT呢？FFT的提出完全是為了快速計(jì)算DFT而已，它的本質(zhì)就是DFT！我們常用的信號(hào)處理軟件MATLAB或者DSP軟件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。

DFS，是針對(duì)時(shí)域周期信號(hào)提出的，如果對(duì)圖(9)所示周期延拓信號(hào)進(jìn)行DFS，就會(huì)得到圖(10)，只要截取其主值區(qū)間，則與DFT是完全的一一對(duì)應(yīng)的精確關(guān)系。這點(diǎn)對(duì)照DFS和DFT的定義式也可以輕易的看出。因此DFS與DFT的本質(zhì)是一樣的，只不過描述的方法不同而已。

結(jié)束語：

• 如此折騰，為伊消得人憔悴，不過是為了打破現(xiàn)實(shí)模擬世界與計(jì)算機(jī)數(shù)字世界的界限。

參考資料：

• http://www.cnblogs.com/BitArt/archive/2012/11/24/2786390.html

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/hehehaha/p/6332226.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的FS,FT,DFT,DFS和DTFT的关系的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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