對于初學數字信號（Digital Signal Processing，DSP）的人來說，這幾種變換是最為頭疼的，它們是數字信號處理的理論基礎，貫穿整個信號的處理。

FS：時域上任意連續的周期信號可以分解為無限多個正弦信號之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號，即時域連續周期對應頻域離散非周期的特點，這就是傅立葉級數展開（Fourier Series，FS），它用于分析連續周期信號。

FT：是傅立葉變換（Fourier Transform，FT），它主要用于分析連續非周期信號，由于信號是非周期的，它必包含了各種頻率的信號，所以具有時域連續非周期對應頻域連續非周期的特點。

FS和FT 都是用于連續信號頻譜的分析工具，它們都以傅立葉級數理論問基礎推導出的。時域上連續的信號在頻域上都有非周期的特點，但對于周期信號和非周期信號又有在頻域離散和連續之分。

在自然界中除了存在溫度，壓力等在時間上連續的信號，還存在一些離散信號，離散信號可經過連續信號采樣獲得，也有本身就是離散的。例如，某地區的年降水量或平均增長率等信號，這類信號的時間變量為年，不在整數時間點的信號是沒有意義的。用于離散信號頻譜分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。

DTFT：是離散時間傅立葉變換（Discrete-time Fourier Transform，DTFT） ，它用于離散非周期序列分析，根據連續傅立葉變換要求連續信號在時間上必須可積這一充分必要條件，那么對于離散時間傅立葉變換，用于它之上的離散序列也必須滿足在時間軸上級數求和收斂的條件；由于信號是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號，所以DTFT對離散非周期信號變換后的頻譜為連續的，即有時域離散非周期對應頻域連續周期的特點。

當離散的信號為周期序列時，嚴格的講，傅立葉變換是不存在的，因為它不滿足信號序列絕對級數之和收斂（絕對可和）這一傅立葉變換的充要條件，但是采用離散傅立葉級數（Discrete Fourier Series ，DFS）這一分析工具仍然可以對其進行傅立葉分析。

我們知道周期離散信號是由無窮多相同的周期序列在時間軸上組成的，假設周期為N，即每個周期序列都有N個元素，而這樣的周期序列有無窮多個，由于無窮多個周期序列都相同，所以可以只取其中一個周期就足以表示整個序列了，這個被抽出來表示整個序列特性的周期稱為主值周期，這個序列稱為主值序列。然后以N對應的頻率作為基頻構成傅立葉級數展開所需要的復指數序列ek(n)=e?j2πnk/N，用主值序列與復指數序列（代表各個頻率的基序列）取相關（乘加運算），得出每 個主值在各頻率上的頻譜分量，這樣就表示出了周期序列的頻譜特性。

根據DTFT，對于有限長序列作Z變換（Z-transformation）或離散傅立葉變換都是可行的，或者說有限長序列的頻域和復頻域分析在理論上都已經解決；但對于數字系統，無論是Z變換還是離散傅立葉變換的適用方面都存在一些問題，重要是因為頻率變量的連續性性質（DTFT變換出連續頻譜），不便于數字運算和儲存。

參考DFS，可以采用類似DFS的分析方法對解決以上問題。可以把有限長非周期序列假設為一無限長周期序列的一個主直周期，即對有限長非周期序列進行周期延拓，延拓后的序列完全可以采用DFS進行處理，即采用復指數基頻序列和此有限長時間序列取相關，得出每個主值在各頻率上的頻譜分量以表示出這個“主值周期”的頻譜信息。

由于DFT借用了DFS，這樣就假設了序列的周期無限性，但在處理時又對區間作出限定（主值區間），以符合有限長的特點，這就使DFT帶有了周期性。另 外，DFT只是對一周期內的有限個離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當于DTFT變換成連續頻譜后再對其采樣，此時采樣頻率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的個數。

引入一篇博客中的圖組，來進一步說明：

補充兩條性質：

1 在一個域的相乘等于另一個域的卷積

2 與脈沖函數的卷積，在每個脈沖的位置上將產生一個波形的鏡像

首先來說圖(1)和圖(2)，對于一個模擬信號，如圖(1)所示，要分析它的頻率成分，必須變換到頻域，這是通過傅立葉變換（FT）得到的，于是有了模擬信號的頻譜，如圖(2)。（PS：此時時域和頻域都是連續的！）

計算機只能處理數字信號，需要將原模擬信號在時域離散化，即在時域對其進行采樣，采樣脈沖序列如圖(3)所示，該采樣序列的頻譜如圖(4)，可見它的頻譜也是一系列的脈沖。所謂時域采樣，就是在時域對信號進行相乘，(1)×(3)后可以得到離散時間信號x[n]，如圖(5)所示。由性質1知，時域的相乘相當于頻域的卷積，那么，圖(2)與圖(4)進行卷積，由于性質2，在每個脈沖的位置上將產生一個波形的鏡像，于是得到圖(6)，它就是圖(5)所示離散時間信號x[n]的DTFT。（PS：此時時域是離散的，而頻域依然是連續的。)

經過上面兩個步驟，我們得到的信號依然不能被計算機處理，因為頻域既連續，又周期。我們自然就想到，既然時域可以采樣，為什么頻域不能采樣呢？這樣不就時域與頻域都離散化了嗎？沒錯，接下來對頻域在進行采樣，頻域采樣信號的頻譜如圖(8)所示，它的時域波形如圖(7)。現在我們進行頻域采樣，即頻域相乘，圖(6)×圖(8)得到圖(10)，由性質1，頻域相乘相當于時域卷積，圖(5)和圖(7)卷積得到圖(9)，不出所料的，鏡像會呈周期性出現在各個脈沖點處。我們取圖(10)周期序列的主值區間，并記為X(k)，它就是序列x[n]的DFT。可見，DFT只是為了計算機處理方便，在頻率域對DTFT進行的采樣并截取主值而已。有人可能疑惑，對圖(10)進行IDFT（逆離散傅里葉變換），回到時域即圖(9)，它與原離散信號圖(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的周期性延拓！沒錯，因此你去查找一個IDFT的定義式，是不是對n的取值區間進行限制了呢？這一限制的含義就是，取該周期延拓序列的主值區間，即可還原x[n]！

FFT呢？FFT的提出完全是為了快速計算DFT而已，它的本質就是DFT！我們常用的信號處理軟件MATLAB或者DSP軟件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。

DFS，是針對時域周期信號提出的，如果對圖(9)所示周期延拓信號進行DFS，就會得到圖(10)，只要截取其主值區間，則與DFT是完全的一一對應的精確關系。這點對照DFS和DFT的定義式也可以輕易的看出。因此DFS與DFT的本質是一樣的，只不過描述的方法不同而已。

結束語：

• 如此折騰，為伊消得人憔悴，不過是為了打破現實模擬世界與計算機數字世界的界限。

參考資料：

• http://www.cnblogs.com/BitArt/archive/2012/11/24/2786390.html

轉載于:https://www.cnblogs.com/hehehaha/p/6332226.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的FS,FT,DFT,DFS和DTFT的关系的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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