先講個(gè)故事吧。

從前有座山，山里有座廟，廟里有個(gè)老和尚，正在給小和尚講故事呢！故事是什么呢？“從前有座山，山里有座廟，廟里有個(gè)老和尚，正在給小和尚講故事呢！故事是什么呢？‘從前有座山，山里有座廟，廟里有個(gè)老和尚，正在給小和尚講故事呢！故事是什么呢？……’”。

這個(gè)故事永遠(yuǎn)也講不完，因?yàn)闆](méi)有遞歸結(jié)束條件。老師講遞歸時(shí)總是說(shuō)，遞歸很簡(jiǎn)單，一個(gè)遞歸結(jié)束條件，一個(gè)自己調(diào)用自己。如果遞歸沒(méi)有結(jié)束條件，那么就會(huì)無(wú)限遞歸下去。在編程的時(shí)候，沒(méi)有遞歸結(jié)束條件或者遞歸過(guò)深，一般會(huì)造成棧溢出。

下面這個(gè)函數(shù)，可以利用棧溢出來(lái)估測(cè)棧的大小：

1 2 3 4 5 6 7 8

void?stack_size() { ????static?int?call_time = 0; ????char?dummy[1024*1024]; ????call_time++; ????printf("call time: %d\n",call_time); ????stack_size(); }

這個(gè)函數(shù)定義了1M的局部變量，然后調(diào)用自己。棧溢出時(shí)會(huì)崩潰，根據(jù)最后打印出的數(shù)字可以算一下棧的大小。

遞歸算法一般用于解決三類(lèi)問(wèn)題：

(1)數(shù)據(jù)的定義是按遞歸定義的。（Fibonacci函數(shù)）

(2)問(wèn)題解法按遞歸算法實(shí)現(xiàn)。（回溯）

(3)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)形式是按遞歸定義的。（樹(shù)的遍歷，圖的搜索）

對(duì)于求1+2+3+…+n這種問(wèn)題，大部分人不會(huì)用遞歸方式求解：

1 2 3 4 5 6 7

int?sum1(int?n) { ????if(n == 0) ????????return?0; ????else ????????return?n+sum1(n-1); }

而是使用迭代的方式：

1 2 3 4 5 6 7

int?sum2(int?n) { ????int?ret =?0; ????for(int?i =?1;? i <= n; i++) ??????????????ret += i; ????return?ret; }

迭代算法是用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的一種基本方法。它利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度快、適合做重復(fù)性操作的特點(diǎn)，讓計(jì)算機(jī)對(duì)一組指令（或一定步驟）進(jìn)行重復(fù)執(zhí)行，在每次執(zhí)行這組指令（或這些步驟）時(shí)，都從變量的原值推出它的一個(gè)新值。

為什么使用迭代而不用遞歸呢？

很明顯，使用遞歸時(shí)每調(diào)用一次，就需要在棧上開(kāi)辟一塊空間，而使用遞歸就不需要了，因此，很多時(shí)候設(shè)計(jì)出了遞歸算法，還要想法設(shè)法修改成迭代算法。

假如現(xiàn)在我們不考慮編程，我們僅僅看一下上面使用遞歸和迭代求1+2+3…+n的過(guò)程。

使用遞歸：

sum(5)
5+sum(4)
5+4+sum(3)
5+4+3+sum(2)
5+4+3+2+sum(1)
5+4+3+2+1+sum(0)
5+4+3+2+1+0
5+4+3+2+1
5+4+3+3
5+4+6
5+10
15

使用迭代

0+1=1
1+2=3
3+3=6
6+4=10
10+5=15

上面兩個(gè)計(jì)算過(guò)程所需的步驟都是O(n)。但是兩個(gè)計(jì)算過(guò)程的形狀不一樣。

遞歸過(guò)程是一個(gè)先逐步展開(kāi)而后收縮的形狀，在展開(kāi)階段，這一計(jì)算過(guò)程構(gòu)造起一個(gè)推遲進(jìn)行的操作所形成的的鏈條（這里是+)，在收縮階段才會(huì)實(shí)際執(zhí)行這些操作。這種類(lèi)型的計(jì)算過(guò)程由一個(gè)推遲執(zhí)行的運(yùn)算鏈條刻畫(huà)，稱(chēng)為一個(gè)遞歸計(jì)算過(guò)程。要執(zhí)行這種計(jì)算過(guò)程，就需要維護(hù)以后將要執(zhí)行的操作的軌跡。在計(jì)算1+2+3+…+n時(shí)，推遲執(zhí)行的加法鏈條的長(zhǎng)度就是為了保存其軌跡需要保存的信息量，這個(gè)長(zhǎng)度隨著n值而線性增長(zhǎng)，這樣的過(guò)程稱(chēng)為線性遞歸過(guò)程。

迭代過(guò)程的形成沒(méi)有任何增長(zhǎng)或收縮。對(duì)于任意一個(gè)n，在計(jì)算的每一步，我們需要保存的就只有i,ret，這個(gè)過(guò)程就是一個(gè)迭代計(jì)算過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，迭代計(jì)算過(guò)程就是那種其狀態(tài)可以用固定數(shù)目的狀態(tài)變量描述的結(jié)算過(guò)程。在計(jì)算1+2+…+n時(shí)，所需的計(jì)算步驟與n成正比，這種過(guò)程稱(chēng)為線性迭代過(guò)程。

現(xiàn)在再回到編程語(yǔ)言中。

上面提到的推遲執(zhí)行的運(yùn)算鏈條就存在棧里，由于棧很小，如果鏈條太長(zhǎng)，就會(huì)溢出了。

那我們?cè)賮?lái)看下面的函數(shù)

1 2 3 4 5 6 7

int?sum3(int?n,?int?acc) { ????if(n == 0) ????????return?acc; ????else ????????return?sum3(n-1,acc+n); }

調(diào)用的時(shí)候acc=0，以sum(5,0)為例這是一個(gè)遞歸函數(shù)，我們來(lái)看看它的計(jì)算過(guò)程。

sum(5,0)
sum(4,5)
sum(3,9)
sum(2,12)
sum(1,14)
sum(0,15)
15

這個(gè)計(jì)算過(guò)程是遞歸的還是迭代的呢？

是迭代的！

但是命名函數(shù)sum又調(diào)用了自己。

我們需要將遞歸計(jì)算過(guò)程與遞歸過(guò)程分隔開(kāi)。

當(dāng)我們說(shuō)一個(gè)過(guò)程(函數(shù))是遞歸的時(shí)候，論述的是一個(gè)語(yǔ)法形式上的事實(shí)，說(shuō)明這個(gè)過(guò)程的定義中(直接或間接的)調(diào)用了自己。我們說(shuō)一個(gè)計(jì)算過(guò)程具有某種模式時(shí)(例如線性遞歸)，我們說(shuō)的是這一計(jì)算過(guò)程的進(jìn)展方式，而不是過(guò)程說(shuō)些上的語(yǔ)法形式。

一個(gè)遞歸過(guò)程，如果它的計(jì)算過(guò)程是迭代的，那么我們稱(chēng)這種遞歸為尾遞歸。尾遞歸不需要保存遞歸的推遲計(jì)算鏈，那么是不是就意味著不會(huì)造成棧溢出了？

我們來(lái)試一下

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

int?sum3(int?n,?int?acc) { ????if(n == 0) ????????return?acc; ????else ????????return?sum3(n-1,acc+n); } int?main() { ????int?n; ????scanf("%d",&n); ????printf("%d\n",sum(n,0)); ????return?0; }

運(yùn)行結(jié)果

看來(lái)還是會(huì)棧溢出。

為啥呢？因?yàn)閏語(yǔ)言默認(rèn)不會(huì)對(duì)尾遞歸進(jìn)行優(yōu)化，即使你的程序是尾遞歸的，它還是按一般的遞歸進(jìn)行編譯。加上優(yōu)化選項(xiàng)就可以對(duì)尾遞歸進(jìn)行優(yōu)化。

下面哪些是尾遞歸呢？

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

int?fib(int?n) { ????if(n == 0 || n == 1) ????????return?1; ????else ????????return?fib(n-1) + fib(n-2); } void?qsort(int?A,?int?p,?int?q) { ????r = partition(A,p,q); ????qsort(A,p,r-1); ????qsort(A,r+1,q); } int?gcd(int?a,?int?b) { ????if(b == 0) ????????return?a; ????else ????????gcd(b, a%b); }

在函數(shù)式編程語(yǔ)言中，不存在變量，因此任何的循環(huán)都需要用遞歸實(shí)現(xiàn)。如果遞歸使用了尾遞歸，那么編譯器或解釋器能自動(dòng)優(yōu)化，如果不是尾遞歸，那么就存在棧溢出的風(fēng)險(xiǎn)。前面兩個(gè)不是尾遞歸，第三個(gè)是尾遞歸。

任何遞歸都可以轉(zhuǎn)化成迭代，那么任何遞歸都可以轉(zhuǎn)化成尾遞歸。

斐波那契數(shù)列改成尾遞歸后如下

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

int?fib(int?n,int?count,?int?a ,?int?b) { ????if(n == 0 || n == 1) ????????return?1; ????else?if?(count > n) ????????return?b; ????else ????????return?fib(n,count+1,b,a+b); } int?FIB(int?n) { ????return?fib(n,2,1,1); }

下面這段代碼

1 2 3

i = 1, ret = 0 for(;i <= n; i++) ????????ret += i;

對(duì)應(yīng)的遞歸形式就是

1 2 3 4 5 6

int?fun(int?i,?int?ret) { ????if(i > n) ????????return?ret; ????else ????????return?fun(ret+i,i+1); }

fun(1,0)相當(dāng)于給i和ret賦初值。

如果將快速排序改成迭代的話，那么需要一個(gè)棧！它的變量個(gè)數(shù)是有限的嗎？我們可以把棧看成一個(gè)變量就可以了。

先修改成迭代形式

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

void?qsort_iterate(int?a[],int?p,int?q) { ????????stack s; ????????s.push(p); ????????s.push(q); ????????while(!s.empty()) ????????{ ????????????????int?high = s.top(); ????????????????s.pop(); ????????????????int?low = s.top(); ????????????????s.pop(); ????????????????if(high > low) ????????????????{ ????????????????????????int?r = partition(a,low,high); ????????????????????????s.push(low); ????????????????????????s.push(r-1); ????????????????????????s.push(r+1); ????????????????????????s.push(high); ????????????????} ????????} }

上面的迭代形式可以很容易的改成尾遞歸：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

void?qsort_tail(int?a[],stack s) { ????????if(!s.empty()) ????????{ ????????????????int?high = s.top(); ????????????????s.pop(); ????????????????int?low = s.top(); ????????????????s.pop(); ????????????????if(high > low) ????????????????{ ????????????????????????int?r = partition(a,low,high); ????????????????????????s.push(low); ????????????????????????s.push(r-1); ????????????????????????s.push(r+1); ????????????????????????s.push(high); ????????????????} ????????????????qsort_tail(a,s); ????????} }

那么在函數(shù)式編程語(yǔ)言里，快排是不是就是這樣實(shí)現(xiàn)的？答案是No。函數(shù)式編程為什么不能用循環(huán)？就是因?yàn)闆](méi)有變量，所以在函數(shù)式編程語(yǔ)言里不能進(jìn)行原地排序的。

1 2 3 4 5 6 7 8

(define (qsort s) ??(cond ((null? s) s) ????????((null? (cdr s)) s) ????????(else ?????????(let ((h (car s)) ???????????????(left (filter (lambda (x) (<= x (car s))) (cdr s))) ???????????????(right (filter (lambda (x) (> x (car s))) (cdr s)))) ???????????(append (qsort left) (list h) (qsort right))))))

我們把這段代碼翻譯成Python(翻譯成C或者C++挺啰嗦的)上面這段代碼是用Lisp的方言Scheme實(shí)現(xiàn)的，不是尾遞歸的。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

def qsort_lisp(A): ????if?len(A) == 0 or len(A) == 1: ????????return?A ????left = [] ????right = [] ????pivot = A[0] ????for?i in range(1,len(A)): ????????if?A[i]???????????? left.append(A[i]); ????????else: ????????????right.append(A[i]); ????return?qsort_lisp(left) + [pivot] + qsort_lisp(right) x = [3,4,5,6,2,34,6,2,2,5,7,2,7] print qsort_lisp(x)

其實(shí)剛才我說(shuō)謊了，大部分函數(shù)式編程語(yǔ)言，例如Scheme,Erlang,Clojure等都提供可變的變量，數(shù)據(jù)庫(kù)里有上G的數(shù)據(jù)，不能把它拷貝一份在寫(xiě)回去，這時(shí)候就需要使用真正的變量了。函數(shù)式編程語(yǔ)言都是比較高級(jí)的語(yǔ)言，排序時(shí)一般使用自帶的sort函數(shù)就行了。上面這段代碼沒(méi)有對(duì)變量做修改的操作，所以可以看做是函數(shù)式編程。這個(gè)函數(shù)能改成尾遞歸嗎？應(yīng)該是可以的，但是挺麻煩的，我是沒(méi)找到好辦法。到網(wǎng)上找了找也沒(méi)找到好的方法。

總結(jié)一下尾遞歸：
(1)計(jì)算過(guò)程是迭代的
(2)在函數(shù)最后一步調(diào)用自己，而且是僅有調(diào)用語(yǔ)句，或者是一句fun()，或者是return fun()，不存在x = fun(）這樣的情況
(3)函數(shù)執(zhí)行最后一句調(diào)用自己的語(yǔ)句時(shí)，將狀態(tài)變量以參數(shù)形式傳遞給下一次調(diào)用，自己的棧沒(méi)用了，形象的說(shuō)，它告訴下一次被調(diào)用的函數(shù)，我已經(jīng)死了，你干完活后直接向我的上級(jí)報(bào)告就行了，不需要和我說(shuō)了
(4)gcc開(kāi)啟優(yōu)化選項(xiàng)后可以對(duì)尾遞歸進(jìn)行優(yōu)化，大部分函數(shù)式編程語(yǔ)言會(huì)對(duì)尾遞歸進(jìn)行優(yōu)化

本文轉(zhuǎn)自nxlhero 51CTO博客，原文鏈接：http://blog.51cto.com/nxlhero/1231228，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)自行聯(lián)系原作者

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的漫谈递归和迭代的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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