提綱：
一直在想，我們?cè)撊绾螁l(fā)學(xué)生的思維，受一篇帖子¹的啟發(fā)，偶發(fā)感想，對(duì)高中數(shù)學(xué)中暫時(shí)能想到的素材做以整理，以饗讀者。

A、解方程中的由數(shù)到式，單項(xiàng)式到多項(xiàng)式

下面的表達(dá)式我們肯定經(jīng)常見(jiàn)到，但是不大會(huì)引起我們的共鳴。
\[1^2-3\times1+2=0\] \[2^2-3\times2+2=0\]

那么你有沒(méi)有想過(guò)，如果我們用一個(gè)未知數(shù)\(x\)同時(shí)替換上式中的\(1\)和\(2\)，
就得到了一個(gè)相同的式子，就是\(x^2-3x+2=0\)，這就是一元二次方程。

這樣的一元二次方程一般都會(huì)求解，要么用公式法，要么分解為\((x-1)(x-2)=0\)，

利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)，得到\(x=1\)或\(x=2\)。

問(wèn)題是你有沒(méi)有思考過(guò)，這個(gè)替換過(guò)程中，已經(jīng)體現(xiàn)了由數(shù)\(1(2)\)到未知數(shù)\(x\)的提升，思維已經(jīng)完成了由算術(shù)到代數(shù)的質(zhì)的飛躍，也就是說(shuō)，已經(jīng)開(kāi)始用字母代替數(shù)字思維了。也許這是個(gè)了不起的變化。

為什么這么說(shuō)呢？我們可以這樣想，求解這個(gè)方程，\(x^4-3x^2+2=0\)，我們其實(shí)可以這樣做，

令\(x^2=t\ge 0\)，則原方程就會(huì)轉(zhuǎn)化為\(t^2-3t+2=0\)，可以先解出\(t=1\)或\(t=2\)，

然后再求解\(t=x^2=1\)或\(t=x^2=2\)，從而解得\(x=\pm 1\)或\(x=\pm 2\)。

其實(shí)，我們只是使用了代數(shù)變換，或者整體思想，就解決了我們看起來(lái)很困難的問(wèn)題。這是一個(gè)了不起的變化。

一旦我們的思維被打通，那么我們能解決的問(wèn)題，就絕不止這些了。

比如求解這樣的方程\[(e^x)^2-3e^x+2=0\] \[(log_2x)^2-3log_2x+2=0\] \[(\sqrt[3]{x+1})^2-3\sqrt[3]{x+1}+2=0\] \[(sin\theta)^2-3sin\theta+2=0\] \[(cos\theta)^2-3cos\theta+2=0\]
只是分別做了這樣的整體代換\(t=e^x\)，\(t=log_2x\)，\(t=e^x\)，\(t=\sqrt[3]{x+1}\)，\(t=sin\theta\)，\(t=cos\theta\)而已。

甚或我們還可以完成有單項(xiàng)式到多項(xiàng)式的替換，這樣我們的思維層次就更高一些了，
比如求解\[(log_2x+1)^2-3(log_2x+1)+2=0\] \[(sin\theta-1)^2-3(sin\theta-1)+2=0\]
也無(wú)非就是讓模型\(t^2-3t+2=0\)中的未知數(shù)變得更復(fù)雜，\(t=log_2x+1\)而已，

看到這里，你能仿照著編寫一個(gè)求方程的題目嗎？

這樣我們不就有了些許的學(xué)習(xí)成就感了嗎？

B、解不等式中的數(shù)到式，單項(xiàng)式到多項(xiàng)式

解這樣的不等式\(x^2-3x+2<0\)，解集是\(\{x\mid 1<x<2\}\)，高三的學(xué)生基本是手到擒來(lái)，

但是你有沒(méi)有想過(guò)，這樣的\(x\)或許還可以是式子，比如\(|x|^2-3|x|+2<0\)，

那么比照上面的解法，只是用\(|x|\)替換了\(x\)，我們肯定能得到\(1<|x|<2\)，

然后問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解絕對(duì)值不等式，\(1<|x|<2\)，得到解集為\(1<x<2\)或\(-2<x<-1\)；

由\(|x|<1\)得到\(-1<x<1\)，那么由\(|2|x|-1|<1\)，能得到什么？\(-1<2|x|-1<1\)，即\(0<2|x|<2\)，即\(0<|x|<1\)，解得\(-1<x<0\)或\(0<x<1\)；

那么下面的不等式你會(huì)解嗎？

\(e^{2x}-3e^x+2<0\)； \(e^x\longrightarrow x\)

\(log_2^2x-3log_2x+2<0\)；\(log_2x\longrightarrow x\)

\((sinx+1)^2-3(sinx+1)+2<0\)；\(sinx+1\longrightarrow x\)

\(x^4-3x^2+2<0\)；\(x^2\longrightarrow x\)

再比如，當(dāng)我們會(huì)解三角不等式 \(2sinx>1\)，解集為\(\{x\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}\}\)

那么，\(2sin(3x+\cfrac{\pi}{4})>1\)，理解了上述的表達(dá)，

你就會(huì)寫出此不等式的解集為\(\{3x+\cfrac{\pi}{4}\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<3x+\cfrac{\pi}{4}<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}\}\)

再整理為\(\{x\mid \cfrac{2k\pi}{3}-\cfrac{\pi}{36}<x< \cfrac{2k\pi}{3}+\cfrac{7\pi}{36}\}\)；

C、算法中的思維訓(xùn)練

5、已知\(tan\alpha=\cfrac{1}{2}\)，求\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)的值。

【法1】：方程組法，由\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}}\\{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\)，

解得\(sin^2\alpha=\cfrac{1}{5}\)，\(cos^2\alpha=\cfrac{4}{5}\)，

代入得到\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=-\cfrac{3}{5}\)；

【法2】：齊次式法，\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)=sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(=-cos2\alpha=-\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{3}{5}\)；

【法3】：由\(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}\)，引入比例因子，可設(shè)\(sin\alpha=k\)，\(cos\alpha=2k(k\neq 0)\)，

由\(k^2+(2k)^2=1\)，可得\(k^2=\cfrac{1}{5}\)，故\(k^4=\cfrac{1}{25}\)，

則\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-\cfrac{3}{5}\)；

8、三角函數(shù)中的齊次式

比如：\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齊次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)為常數(shù))；

小結(jié)：實(shí)現(xiàn)了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的轉(zhuǎn)化；

比如：\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齊次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)

小結(jié)：實(shí)現(xiàn)了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的轉(zhuǎn)化；

再比如：\(a\sin2\theta+b\cos2\theta=\cfrac{a\sin2\theta+b\cos2\theta}{sin^2\theta+cos^2\theta}=\cfrac{a\tan\theta+b-b\tan^2\theta}{tan^2\theta+1}\)，

其余留作思考：\(\sin2\theta\)， \(\cos2\theta\)，\(1+\sin2\theta\)， \(2-\cos2\theta\)，\(3\sin2\theta-2\cos2\theta\) 等等

C、從算術(shù)到代數(shù)的演變

理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

D、注意數(shù)學(xué)知識(shí)的給出方式，

例說(shuō)學(xué)習(xí)方法的改造和提升

函數(shù)的單調(diào)性

E、用四則運(yùn)算構(gòu)造新函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)的角度

F、從簡(jiǎn)原則，變量集中

變量集中思想的應(yīng)用

五、向量的使用，新工具的作用的體會(huì)

六、參數(shù)方程中的參數(shù)，參數(shù)的幾何意義，變量集中，

七、線性規(guī)劃的引申，由數(shù)到形，如求\(\cfrac{y+2}{x-1}\)的取值范圍。

八、進(jìn)退結(jié)合，

九、求解\(lnx=1-x\)的體會(huì)，數(shù)行不通，換形。代數(shù)方程到超越方程。

十、由\(a_{n+1}=pa_n+q\)構(gòu)造到\(a_{n+1}=3a_n+8n+6\)的構(gòu)造等等；

十一、用臨界位置打通數(shù)形聯(lián)系

如\(x^2+y^2=1\)，我們知道這是個(gè)圓，即圓上的所有點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集；

那么\(y=\sqrt{1-x^2}\)，應(yīng)該是\(x\)軸上方的單位圓；

那么碰到\(0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\)呢？

先用等號(hào)替換不等號(hào)得到\(y=0\)或者\(y=\sqrt{1-x^2}\)，

其分別刻畫的是\(x\)軸和\(x\)軸上方的單位圓；

故\(0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\)刻畫的應(yīng)該是\(x\)軸上方的單位圓和單位圓的內(nèi)部；

十二、歸納推理，類比推理

數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)；數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)積\(T_n\)；

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交給學(xué)生知識(shí)的本源?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/8674188.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的思维训练素材整理【初级中阶高阶辅导】的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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