提綱：
一直在想，我們該如何啟發學生的思維，受一篇帖子¹的啟發，偶發感想，對高中數學中暫時能想到的素材做以整理，以饗讀者。

A、解方程中的由數到式，單項式到多項式

下面的表達式我們肯定經常見到，但是不大會引起我們的共鳴。
\[1^2-3\times1+2=0\] \[2^2-3\times2+2=0\]

那么你有沒有想過，如果我們用一個未知數\(x\)同時替換上式中的\(1\)和\(2\)，
就得到了一個相同的式子，就是\(x^2-3x+2=0\)，這就是一元二次方程。

這樣的一元二次方程一般都會求解，要么用公式法，要么分解為\((x-1)(x-2)=0\)，

利用實數的性質，得到\(x=1\)或\(x=2\)。

問題是你有沒有思考過，這個替換過程中，已經體現了由數\(1(2)\)到未知數\(x\)的提升，思維已經完成了由算術到代數的質的飛躍，也就是說，已經開始用字母代替數字思維了。也許這是個了不起的變化。

為什么這么說呢？我們可以這樣想，求解這個方程，\(x^4-3x^2+2=0\)，我們其實可以這樣做，

令\(x^2=t\ge 0\)，則原方程就會轉化為\(t^2-3t+2=0\)，可以先解出\(t=1\)或\(t=2\)，

然后再求解\(t=x^2=1\)或\(t=x^2=2\)，從而解得\(x=\pm 1\)或\(x=\pm 2\)。

其實，我們只是使用了代數變換，或者整體思想，就解決了我們看起來很困難的問題。這是一個了不起的變化。

一旦我們的思維被打通，那么我們能解決的問題，就絕不止這些了。

比如求解這樣的方程\[(e^x)^2-3e^x+2=0\] \[(log_2x)^2-3log_2x+2=0\] \[(\sqrt[3]{x+1})^2-3\sqrt[3]{x+1}+2=0\] \[(sin\theta)^2-3sin\theta+2=0\] \[(cos\theta)^2-3cos\theta+2=0\]
只是分別做了這樣的整體代換\(t=e^x\)，\(t=log_2x\)，\(t=e^x\)，\(t=\sqrt[3]{x+1}\)，\(t=sin\theta\)，\(t=cos\theta\)而已。

甚或我們還可以完成有單項式到多項式的替換，這樣我們的思維層次就更高一些了，
比如求解\[(log_2x+1)^2-3(log_2x+1)+2=0\] \[(sin\theta-1)^2-3(sin\theta-1)+2=0\]
也無非就是讓模型\(t^2-3t+2=0\)中的未知數變得更復雜，\(t=log_2x+1\)而已，

看到這里，你能仿照著編寫一個求方程的題目嗎？

這樣我們不就有了些許的學習成就感了嗎？

B、解不等式中的數到式，單項式到多項式

解這樣的不等式\(x^2-3x+2<0\)，解集是\(\{x\mid 1<x<2\}\)，高三的學生基本是手到擒來，

但是你有沒有想過，這樣的\(x\)或許還可以是式子，比如\(|x|^2-3|x|+2<0\)，

那么比照上面的解法，只是用\(|x|\)替換了\(x\)，我們肯定能得到\(1<|x|<2\)，

然后問題轉化為解絕對值不等式，\(1<|x|<2\)，得到解集為\(1<x<2\)或\(-2<x<-1\)；

由\(|x|<1\)得到\(-1<x<1\)，那么由\(|2|x|-1|<1\)，能得到什么？\(-1<2|x|-1<1\)，即\(0<2|x|<2\)，即\(0<|x|<1\)，解得\(-1<x<0\)或\(0<x<1\)；

那么下面的不等式你會解嗎？

\(e^{2x}-3e^x+2<0\)； \(e^x\longrightarrow x\)

\(log_2^2x-3log_2x+2<0\)；\(log_2x\longrightarrow x\)

\((sinx+1)^2-3(sinx+1)+2<0\)；\(sinx+1\longrightarrow x\)

\(x^4-3x^2+2<0\)；\(x^2\longrightarrow x\)

再比如，當我們會解三角不等式 \(2sinx>1\)，解集為\(\{x\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}\}\)

那么，\(2sin(3x+\cfrac{\pi}{4})>1\)，理解了上述的表達，

你就會寫出此不等式的解集為\(\{3x+\cfrac{\pi}{4}\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<3x+\cfrac{\pi}{4}<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}\}\)

再整理為\(\{x\mid \cfrac{2k\pi}{3}-\cfrac{\pi}{36}<x< \cfrac{2k\pi}{3}+\cfrac{7\pi}{36}\}\)；

C、算法中的思維訓練

5、已知\(tan\alpha=\cfrac{1}{2}\)，求\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)的值。

【法1】：方程組法，由\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}}\\{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\)，

解得\(sin^2\alpha=\cfrac{1}{5}\)，\(cos^2\alpha=\cfrac{4}{5}\)，

代入得到\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=-\cfrac{3}{5}\)；

【法2】：齊次式法，\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)=sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(=-cos2\alpha=-\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{3}{5}\)；

【法3】：由\(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}\)，引入比例因子，可設\(sin\alpha=k\)，\(cos\alpha=2k(k\neq 0)\)，

由\(k^2+(2k)^2=1\)，可得\(k^2=\cfrac{1}{5}\)，故\(k^4=\cfrac{1}{25}\)，

則\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-\cfrac{3}{5}\)；

8、三角函數中的齊次式

比如：\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齊次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)為常數)；

小結：實現了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的轉化；

比如：\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齊次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)

小結：實現了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的轉化；

再比如：\(a\sin2\theta+b\cos2\theta=\cfrac{a\sin2\theta+b\cos2\theta}{sin^2\theta+cos^2\theta}=\cfrac{a\tan\theta+b-b\tan^2\theta}{tan^2\theta+1}\)，

其余留作思考：\(\sin2\theta\)， \(\cos2\theta\)，\(1+\sin2\theta\)， \(2-\cos2\theta\)，\(3\sin2\theta-2\cos2\theta\) 等等

C、從算術到代數的演變

理解數學的本質提高學生數學素養

D、注意數學知識的給出方式，

例說學習方法的改造和提升

函數的單調性

E、用四則運算構造新函數

構造函數的角度

F、從簡原則，變量集中

變量集中思想的應用

五、向量的使用，新工具的作用的體會

六、參數方程中的參數，參數的幾何意義，變量集中，

七、線性規劃的引申，由數到形，如求\(\cfrac{y+2}{x-1}\)的取值范圍。

八、進退結合，

九、求解\(lnx=1-x\)的體會，數行不通，換形。代數方程到超越方程。

十、由\(a_{n+1}=pa_n+q\)構造到\(a_{n+1}=3a_n+8n+6\)的構造等等；

十一、用臨界位置打通數形聯系

如\(x^2+y^2=1\)，我們知道這是個圓，即圓上的所有點構成的點集；

那么\(y=\sqrt{1-x^2}\)，應該是\(x\)軸上方的單位圓；

那么碰到\(0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\)呢？

先用等號替換不等號得到\(y=0\)或者\(y=\sqrt{1-x^2}\)，

其分別刻畫的是\(x\)軸和\(x\)軸上方的單位圓；

故\(0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}\)刻畫的應該是\(x\)軸上方的單位圓和單位圓的內部；

十二、歸納推理，類比推理

數列的前\(n\)項和\(S_n\)；數列的前\(n\)項積\(T_n\)；

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交給學生知識的本源?

轉載于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/8674188.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的思维训练素材整理【初级中阶高阶辅导】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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