Tarjan有向圖強(qiáng)連通分量

本文僅供娛樂，不喜勿噴

一、強(qiáng)連通分量

有向圖強(qiáng)連通分量：在有向圖G中，如果兩個頂點(diǎn)vi,vj間（vi>vj）有一條從vi到vj的有向路徑，同時還有一條從vj到vi的有向路徑，則稱兩個頂點(diǎn)強(qiáng)連通(strongly connected)。如果有向圖G的每兩個頂點(diǎn)都強(qiáng)連通，稱G是一個強(qiáng)連通圖。有向圖的極大強(qiáng)連通子圖，稱為強(qiáng)連通分量(strongly connected components)。

通俗地說：一個強(qiáng)連通分量內(nèi)的點(diǎn)兩兩相互可達(dá)。

它可能長得像這樣

丑陋的圖

二、咋求啊？

Tarjan——一種由Robert Tarjan提出的求解有向圖強(qiáng)連通分量的線性時間的算法

我們考慮DFS的時候記錄一些東西
? 1. dfn[u] 第一次訪問u的時間戳
? 2. low[u] u及u的子孫中所能到達(dá)的最小的時間戳 （啥啊？請看下文）

我這里剛好有一些記錄這2個東西的方法：
? 1. 如果從u出發(fā)的點(diǎn)已經(jīng)沒了， 則low[u]=dfn[u]=當(dāng)前時間戳
? 2. 如果下一個將訪問的點(diǎn)v未被訪問過（即dfn[v]=0)， 則v在u的子孫中l(wèi)ow[u]應(yīng)該和low[v]取最小值
? 3.如果下一個將訪問的點(diǎn)v已經(jīng)被訪問過了，那么只有返祖邊有用對吧？只需用返祖邊連接的另一節(jié)點(diǎn)的dfn來更新當(dāng)前的low
? （假設(shè)通過橫插邊與剛訪問的東西連接了，那么是不是不可能與剛訪問的組成強(qiáng)連通分量吧？，如果可以的話，剛剛就應(yīng)該做到這個u了，對吧）

咱們再看一張不優(yōu)美的圖

? 1. 圖中黑點(diǎn)即為原圖中的點(diǎn)
? 2. 黑邊是我們在dfs時經(jīng)過的邊，我們叫它樹邊
? 3. 紅邊為其他比較奇怪的邊， 標(biāo)號為1、2的邊我們叫它橫叉邊，標(biāo)號為3的邊我們叫他反祖邊

讓我們稍微想想：如果u的子孫中可以到達(dá)時間戳比u更小的， 是不是他們是強(qiáng)連通的。但是我們要求的是強(qiáng)連通分量呀。

那么再繼續(xù)想想——是不是如果u的子孫中可以到達(dá)時間戳中的最小值和dfn[u]一樣，那么是不是u就是這個強(qiáng)連通分量的根啊（好像是叫根的）。

但是如果滿足這個條件，并不是u的所有子孫和他都可以組成一個強(qiáng)連通分量。
如圖所示：

咋整呢？一個棧就可以了。每次訪問u就加到棧里，如果u為一個強(qiáng)連通分量的根，那么就把棧頂至u的元素都彈出，他們都是一個強(qiáng)連通分量的，這個得自己想想。

好像挺簡單的，看看代碼吧。

#include <stdio.h> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <vector> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXN = 10005; const int MAXM = 100005; struct Edge {int to, nxt; } edge[MAXM]; vector <int> scc[MAXN]; int fir[MAXN], ecnt, stk[MAXN], dfn[MAXN], low[MAXN]; int n, m, scnt, timer, top, col[MAXN]; void addedge(int u, int v) {edge[++ecnt].to = v;edge[ecnt].nxt = fir[u];fir[u] = ecnt; } void tarjan(int u) {dfn[u] = low[u] = ++timer;stk[++top] = u;for (int e = fir[u]; e; e = edge[e].nxt) {int v = edge[e].to;if (!dfn[v]) { //未訪問過，即v位u的子孫tarjan(v);low[u] = min(low[u], low[v]); //用他的low更新} else if (!col[v]) //沒有顏色標(biāo)記，即還未確定所在強(qiáng)連通分量，即為祖先low[u] = min(low[u], dfn[v]); //用dfn更新}if (dfn[u] == low[u]) {col[u] = ++scnt;scc[scnt].push_back(u);while (stk[top] != u) { //彈出top至u的節(jié)點(diǎn)scc[scnt].push_back(stk[top]);col[stk[top--]] = scnt;}--top;} } int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; ++i)scanf("%d", &val[i]);for (int i = 1; i <= m; ++i) {int u, v;scanf("%d%d", &u, &v);addedge(u, v);}for (int i = 1; i <= n; ++i)if (!dfn[i])tarjan(i);for (int i = 1; i <= scnt; ++i) {for (int j = 0; j < scc[i].size(); ++j)printf("%d ", scc[i][j]);putchar('\n');}return 0; }

有啥用啊？

可以把奇怪的圖變成有向無環(huán)圖（DAG），然后就可以拓?fù)渖兜牧恕?br /> 然而，Tarjan縮點(diǎn)重新建圖的寫法我始終沒找到。

來一道模板題的丑陋的代碼吧。（LUOGU 2341 受歡迎de奶牛）

#include <stdio.h> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cmath> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXN = 10005; const int MAXM = 50005; struct Edge {int to, nxt; } edge[MAXM]; int n, m, fir[MAXN], dfn[MAXN], low[MAXN], stk[MAXN], top; int degree[MAXN], col[MAXN], sum, cnt[MAXN], ans, ecnt, timer; void addedge(int u, int v) {edge[++ecnt].to = v;edge[ecnt].nxt = fir[u];fir[u] = ecnt; } void tarjan(int u) {dfn[u] = low[u] = ++timer;stk[++top] = u;for (int e = fir[u]; e; e = edge[e].nxt) {int v = edge[e].to;if (!dfn[v]) {tarjan(v);low[u] = min(low[u], low[v]);} else if (!col[v])low[u] = min(low[u], dfn[v]);}if (low[u] == dfn[u]) {col[u] = ++sum;while (stk[top] != u)col[stk[top--]] = sum;--top;} } int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= m; ++i) {int u, v;scanf("%d%d", &u, &v);addedge(u, v);}for (int i = 1; i <= n; ++i)if (!dfn[i])tarjan(i);for (int u = 1; u <= n; ++u) {++cnt[col[u]];for (int e = fir[u]; e; e = edge[e].nxt) {int v = edge[e].to;if (col[u] != col[v])++degree[col[u]];}}int temp = 0;for (int i = 1; i <= sum; ++i)if (degree[i] == 0) {++temp;ans = cnt[i];}if (temp == 1) printf("%d\n", ans);else puts("0");return 0; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/herald/p/9830743.html

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總結(jié)

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