最小二乘法多項式曲線擬合，是常見的曲線擬合方法，有著廣泛的應用，這里在借鑒最小二乘多項式曲線擬合原理與實現的原理的基礎上，介紹如何在OpenCV來實現基于最小二乘的多項式曲線擬合。

概念

最小二乘法多項式曲線擬合，根據給定的m個點,并不要求這條曲線精確地經過這些點，而是曲線y=f(x)的近似曲線y= φ(x)。

原理

給定數據點pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲線y= φ(x)。并且使得近似曲線與y=f(x)的偏差最小。近似曲線在點pi處的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。?

常見的曲線擬合方法:

1.使偏差絕對值之和最小

? ? ?

2.使偏差絕對值最大的最小

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3.使偏差平方和最小

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按偏差平方和最小的原則選取擬合曲線，并且采取二項式方程為擬合曲線的方法,稱為最小二乘法。

推導過程：

1.?設擬合多項式為：

? ? ?? ? ?

2.各點到這條曲線的距離之和，即偏差平方和如下：

? ? ?? ? ?

3.為了求得符合條件的a值，對等式右邊求ai偏導數，因而我們得到了：?

? ? ?? ? ?

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? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?.......

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4.將等式左邊進行一下化簡，然后應該可以得到下面的等式：

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5.把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣：

? ? ?? ? ?

6.即X*A=Y。

我們只要解出這個線性方程，即可求得擬合曲線多項式的系數矩陣。而在opencv中，有一個專門用于求解線性方程的函數，即cv::solve()，具體調用形式如下：

int cv::solve(cv::InputArray X, // 左邊矩陣X, nxncv::InputArray Y, // 右邊矩陣Y,nx1cv::OutputArray A, // 結果，系數矩陣A,nx1int method = cv::DECOMP_LU // 估算方法 );

我們只需要按照上述原理，構造出矩陣X和Y，即可調用該函數，計算出多項式的系數矩陣A。

opencv中支持的估算方法如下圖所示：

實現如下：

bool polynomial_curve_fit(std::vector<cv::Point>& key_point, int n, cv::Mat& A) {//Number of key pointsint N = key_point.size();//構造矩陣Xcv::Mat X = cv::Mat::zeros(n + 1, n + 1, CV_64FC1);for (int i = 0; i < n + 1; i++){for (int j = 0; j < n + 1; j++){for (int k = 0; k < N; k++){X.at<double>(i, j) = X.at<double>(i, j) +std::pow(key_point[k].x, i + j);}}}//構造矩陣Ycv::Mat Y = cv::Mat::zeros(n + 1, 1, CV_64FC1);for (int i = 0; i < n + 1; i++){for (int k = 0; k < N; k++){Y.at<double>(i, 0) = Y.at<double>(i, 0) +std::pow(key_point[k].x, i) * key_point[k].y;}}A = cv::Mat::zeros(n + 1, 1, CV_64FC1);//求解矩陣Acv::solve(X, Y, A, cv::DECOMP_LU);return true; }

測試代碼如下：

int main() {//創建用于繪制的深藍色背景圖像cv::Mat image = cv::Mat::zeros(480, 640, CV_8UC3);image.setTo(cv::Scalar(100, 0, 0));//輸入擬合點 std::vector<cv::Point> points;points.push_back(cv::Point(100., 58.));points.push_back(cv::Point(150., 70.));points.push_back(cv::Point(200., 90.));points.push_back(cv::Point(252., 140.));points.push_back(cv::Point(300., 220.));points.push_back(cv::Point(350., 400.));//將擬合點繪制到空白圖上 for (int i = 0; i < points.size(); i++){cv::circle(image, points[i], 5, cv::Scalar(0, 0, 255), 2, 8, 0);}//繪制折線cv::polylines(image, points, false, cv::Scalar(0, 255, 0), 1, 8, 0);cv::Mat A;polynomial_curve_fit(points, 3, A);std::cout << "A = " << A << std::endl;std::vector<cv::Point> points_fitted;for (int x = 0; x < 400; x++){double y = A.at<double>(0, 0) + A.at<double>(1, 0) * x +A.at<double>(2, 0)*std::pow(x, 2) + A.at<double>(3, 0)*std::pow(x, 3);points_fitted.push_back(cv::Point(x, y));}cv::polylines(image, points_fitted, false, cv::Scalar(0, 255, 255), 1, 8, 0);cv::imshow("image", image);cv::waitKey(0);return 0; }

繪制結果：

2017.06.05

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法+OpenCV】基于opencv的直线和曲线拟合与绘制（最小二乘法）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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