算法原理

對于常微分方程初值問題

在求解區(qū)間[a,b]上作等距分割的剖分，步長，記。用數(shù)值微商的方法，即用差商近似微商數(shù)值求解常微分方程。

用向前差商近似

做出y(x)的在x=x0處的一階向前差商式：?

又，于是得到

而y(x1)的近似值y1可按

?或?

求得。類似地，由

?以及?

得到計算近似值的向前歐拉公式：

由差商（差分）得到的上述方程稱為差分方程。

由yn直接算出yn+1值的計算格式稱為顯式格式，向前歐拉公式是顯式格式。

算法流程

算法代碼

[cpp]?view plaincopy

　　//歐拉公式代碼??

#include<iostream>??

#include<string>??

#include<vector>??

using?namespace?std;??

??

double?f(double?x,double?y){??

????return?-50*y;??

}??

??

vector<double>?Euler(double?x0,double?y0,double?h,int?N){??

????vector<double>?Y(N,0);??

????double?x=x0;??

????Y[0]=y0;??

????for(int?n=1;n<N;n++){??

????????Y[n]?=?Y[n-1]?+?h*f(x,Y[n-1]);??

????????x?+=?h;??

????}??

????return?Y;??

}??

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int?main(){??

????char?a='n';??

????do{??

????????cout<<"請輸入步長h和要計算的函數(shù)值的個數(shù)N：?"<<endl;??

????????double?h;??

????????int?N;??

????????cin>>h>>N;??

????????cout<<"請輸入要初始函數(shù)點（x0，y0）："<<endl;??

????????double?x0;??

????????double?y0;??

????????cin>>x0>>y0;??

????????vector<double>?Y=Euler(x0,y0,h,N+1);??

????????cout<<"歐拉格式計算結(jié)果為：??"<<endl;??

????????for(int?i=0;i<N+1;i++){??

????????????cout<<x0+i*h<<"?????"<<Y[i]<<endl;??

????????}??

????????cout<<"是否要繼續(xù)？(y/n)"<<endl;??

????????cin>>a;??

????}while(a=='y');??

????????return?0;??

}??

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??

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//改進的歐拉公式??

#include<iostream>??

#include<string>??

#include<vector>??

using?namespace?std;??

??

double?f(double?x,double?y){??

????return?y-(2*x)/y;??

}??

??

vector<double>?ImprovedEuler(double?x0,double?y0,double?h,int?N){??

????vector<double>?Y(N,0);??

????Y[0]=y0;??

????double?x=x0;??

????double?p=0;??

????double?c=0;??

????for(int?n=1;n<N;n++){??

????????p=Y[n-1]+h*f(x,Y[n-1]);??

????????x?+=h;??

????????c=Y[n-1]+h*f(x,p);??

????????Y[n]=(p+c)/2;??

????}??

????return?Y;??

}??

??

int?main(){??

????char?a='n';??

????do{??

????????cout<<"請輸入步長h和要計算的函數(shù)值的個數(shù)N：?"<<endl;??

????????double?h;??

????????int?N;??

????????cin>>h>>N;??

????????cout<<"請輸入要初始函數(shù)點（x0，y0）："<<endl;??

????????double?x0;??

????????double?y0;??

????????cin>>x0>>y0;??

????????vector<double>?Y=ImprovedEuler(x0,y0,h,N+1);??

????????cout<<"歐拉格式計算結(jié)果為：??"<<endl;??

????????for(int?i=0;i<N+1;i++){??

????????????cout<<x0+i*h<<"?????"<<Y[i]<<endl;??

????????}??

????????cout<<"是否要繼續(xù)？(y/n)"<<endl;??

????????cin>>a;??

????}while(a=='y');??

????????return?0;??

}??

實驗過程原始記錄

（1）分別取h=0.05，N=10；h=0.025，N=20；h=0.01，N=50，用顯式歐拉方法求解微分方程初值 問題：y’=-50y，y(0)=10

h=0.05，N=10


h=0.025，N=20


h=0.01，N=50

（2）用改進的歐拉格式計算下列一階常微分方程初值問題

其解析解為：?

實驗結(jié)果及分析

1、歐拉公式用以求解常微分方程中的定解問題
2、可以看出，歐拉公式的精度很低，對于不同的步長求得相同點處的值差距可能很大；而且計算中的誤差會累計。但顯式歐拉公式取向前差商作為平均斜率，計算簡單，且利于編寫計算機程序，所以對于一些簡單函數(shù)仍有很大的價值。
3、改進的歐拉公式是歐拉方法和梯形方法的綜合，也是一種顯式算法，計算簡單，利于編寫程序，與歐拉公式相比大大提高了精度。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的常微分方程数值解：欧拉公式的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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