我想很多人第一次學習遞歸的時候，老師或者書本上可能會舉漢諾塔的例子。
但是今天，我們討論的重點不是簡單的漢諾塔算法，而是三柱漢諾塔的延伸。先來看看經典的三柱漢諾塔。
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一、三柱漢諾塔（Hanoi_Three）：
我想大家對于三柱漢諾塔的理解以及算法的實現應該是很熟練了。
我在這里簡單的過一遍三柱漢諾塔的算法思想：
有A、B、C三根柱子，A柱上有n個盤子，現在需要將A上所有的盤子轉移到C上，請給出搬運次數最少的步驟。
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算法思想：
1、將A上n-1個盤子以C為緩存，全部轉移到 B 柱上。
2、將A上留下的第n個盤子，直接轉移到 C? 柱上。
3、將B上的n-1個盤子，以A為緩存，全部轉移到 C 柱上。
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很容易得到算法的遞歸方程為：T(n)=2*T(n-1)+1，不難算出步數是T(n)=2^n-1。
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具體的代碼如下：
[cpp]?view plaincopy
void?Move(?char?x,?char?y?)?? {?? ????printf("%c?-->?%c\n",?x,?y);??? }?? ?? void?Hanoi_Three(?int?n,?char?a,?char?b,?char?c?)?? {?? ????if(?n?<=?0?)?? ????????return?;?????? ?????? ????step++;??????? ?????? ????if(?n?==?1?)?? ????{?? ????????Move(?a,?c?);????? ????????return?;?????? ????}?? ????else?? ????{?? ????????Hanoi_Three(?n-1,?a,?c,?b);??????? ????????Move(?a,?c?);????????????????????? ????????Hanoi_Three(?n-1,?b,?a,?c);??????? ????}?? }??
二、四柱漢諾塔（Hanoi_Four）：
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當柱子為四根時，對于只是將盤子全部轉移到另一根柱子上這個目的來說，是大大降低了難度，而且算法的復雜度也大大降低了。但是，這個時候，如果要你找到一個最優的、步驟最少的實現方法，可以說難度是提升了一個數量級。
有些人可能會質疑，為什么，我用三柱漢諾塔的思想不是很優化了嗎？
別急，且讓我慢慢向你道來。
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先來看看這種‘看上去很合理’的解法：
假設，A，B，C，D，分別為：源位置，緩存，緩存，目的位置。
因為三柱的時候，我們是將A的前n-1個盤子放到B上緩存，然后將第n個盤子放到C柱上。
現在的情況好很多，有兩個可以緩存的柱子，因此，看上去移動起來更加方便，原來B上需要緩存的n-1個盤子，現在可以只是n-2個盤子，而將第n-1個盤子放到C上緩存。
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具體的流程如下（非最優解法）：
1、從A借助C、D將 n-2個盤子移動到B上。
2、將第n-1個盤子移動到C上。
3、將第n個盤子移動到D上。
4、將第n-1個盤子移動到D上。
5、從B借助A、C將 n-2個盤子全部移動到D上。
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看上去，非常完美，筆者也一度覺得這個思想沒有破綻，甚至我還自以為找到了k根柱子漢諾塔的通用方法（想當然的將B柱上緩存的數量從n-2個，改為n-（k-2）個盤子）。直到我看了這篇文章：多柱漢諾塔最優算法設計探究。
??? 雖然我們想到讓盤子盡量不發生重疊來保證步數的最少，但是這并不能絕對保證。或許在盤子較少的情況下是可行的，但是盤子增多時，那些多余的只有一個盤子的柱子是可以加以利用的（可能的優化在這里）。雖然這么做加多了每次的移動步數，但是卻從另一個側面減少了遞歸的數量，因此我們需要從這里邊找一個平衡點。
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下面我們來看看，1941年，美國的J. S. Frame，給出的四柱漢諾塔的算法思想，也叫Frame算法：
1、用4柱漢諾塔算法把A柱上部分的n- r個碟子通過C柱和D柱移到B柱上【F( n- r )步】。
2、用3柱漢諾塔經典算法把A柱上剩余的r個碟子通過C柱移到D柱上【2^r-1步】（參照上述三柱時的情況）。
3、用4柱漢諾塔算法把B柱上的n-r個碟子通過A柱和C柱移到D柱上【F(n-r)步】。
4、依據上邊規則求出所有r（1≤r≤n）情況下步數f(n)，取最小值得最終解。
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因此Frame算法的遞歸方程如下：
F(n)=min(2*F(n-r)+2^r-1)，（1≤r≤n）。
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大家有沒有發現，其實，這個算法思想跟我們之前認為合理的算法基本一致，差別只是在于他將我們的n-2個碟子緩存到B上，改為了將n- r個碟子轉移到B柱上。
差別即使核心，這個算法的核心，就是計算n個盤子的情況下，r為何值時，能夠使得算法最優。
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找到了核心，我們現在的任務就明確了，就是對r值的計算。
這里給出了一個較笨的方法--枚舉（不知道各位有沒有其他方法）。就是將一定范圍內的n與r的所有取值帶入，得到滿足F（n）為最小值的r的值，記為K[n] = r；
具體的代碼如下：
[cpp]?view plaincopy
void?Init_K(void?)?? {?? ????int?i,?k;????? ????__int64?temp;????? ????__int64?m[Max+1]?=?{0};??????? ?????? ????for(?i?=?1;?i?<=?Max;?i++?)?? ????{?? ????????m[i]?=?INT_MAX;??????? ????????for(?k?=?1;?k?<=?i;?k++?)?? ????????{?? ????????????temp?=?2*m[i-k]?+?(__int64)pow(2,k)?-?1;?????? ????????????if(?temp?<?m[i]?)?? ????????????{?? ????????????????m[i]?=?temp;?????? ????????????????K[i]?=?k;????? ?????????????????? ????????????}?? ????????}?? ????}?? }??
得到各個n對于的r之后，算法將變的非常簡單，具體實現如下：
[cpp]?view plaincopy
#include?<stdio.h>?? #include?<math.h>?? #define?Max?100??? #define?INT_MAX?0xfffffffffffffff?? int?K[Max+1]?=?{0};??? int?step?=?0;????? ?? void?Hanoi_Four(?int?n,?char?a,?char?b,?char?c,?char?d?);????? void?Hanoi_Three(?int?n,?char?a,?char?b,?char?c?);???? void?Move(?char?x,?char?y?);?????? ?? void?Move(?char?x,?char?y?)?? {?? ????printf("%c?-->?%c\n",?x,?y);??? }?? ?? void?Hanoi_Three(?int?n,?char?a,?char?b,?char?c?)?? {?? ????if(?n?<=?0?)?? ????????return?;?????? ?????? ????step++;??????? ?????? ????if(?n?==?1?)?? ????{?? ????????Move(?a,?c?);????? ????????return?;?????? ????}?? ????else?? ????{?? ????????Hanoi_Three(?n-1,?a,?c,?b);??????? ????????Move(?a,?c?);????????????????????? ????????Hanoi_Three(?n-1,?b,?a,?c);??????? ????}?? }?? ?? void?Hanoi_Four(?int?n,?char?a,?char?b,?char?c,?char?d?)?? {?? ????if(?n?<=?0?)?? ????????return?;?????? ?????? ????if(?n?==?1?)?? ????{?? ????????step++;??? ????????Move(?a,?d?);????? ????????return?;?????? ????}?? ????else?? ????{?? ????????int?kn?=?K[n];???? ?????????? ????????Hanoi_Four(?n-kn,?a,?c,?d,?b?);??????? ????????Hanoi_Three(?kn,?a,?c,?d?);??????????? ????????Hanoi_Four(?n-kn,?b,?a,?c,?d?);??????? ????}?? }?? ?? void?Init_K(void?)?? {?? ????int?i,?k;????? ????__int64?temp;????? ????__int64?m[Max+1]?=?{0};??????? ?????? ????for(?i?=?1;?i?<=?Max;?i++?)?? ????{?? ????????m[i]?=?INT_MAX;??????? ????????for(?k?=?1;?k?<=?i;?k++?)?? ????????{?? ????????????temp?=?2*m[i-k]?+?(__int64)pow(2,k)?-?1;?????? ????????????if(?temp?<?m[i]?)?? ????????????{?? ????????????????m[i]?=?temp;?????? ????????????????K[i]?=?k;????? ?????????????????? ????????????}?? ????????}?? ????}?? }?? ?? int?main()?? {?? ????int?n;???? ????Init_K();????? ?? ????printf("Please?enter?the?number?of?the?Plates:?\n");?? ????while(?scanf("%d",?&n)?!=?EOF?)?? ????{?? ????????step?=?0;????? ????????Hanoi_Four(?n,?'A',?'B',?'C',?'D'?);?????? ?????????? ????????printf("**************************\nTotal?Step:?%d\n",?step?);???? ?? ????????printf("Please?enter?the?number?of?the?Plates:?\n");?? ????}?? ?????? ????return?0;????? }??
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到這里，四柱漢諾塔的算法基本講完了。
有興趣的同學，可以繼續歸納多柱漢諾塔的實現方法，歡迎交流指導！
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?很多時候，看似合理的背后，其實是一種思維定勢。。。
from:?http://blog.csdn.net/cyh_24/article/details/8075578
《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀
總結
以上是生活随笔為你收集整理的四柱加强版汉诺塔HanoiTower----是甜蜜还是烦恼的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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