離散指數(shù)映射參數(shù)化

原文地址：http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/46415009

作者：hjimce

本篇博文主要講解2006年Siggraph上的一篇經(jīng)典紋理貼圖paper：《Interactive Decal Compositing with Discrete Exponential Maps》，這是我研究生所學(xué)的第一個(gè)算法，也可以說是我人生所學(xué)的第一個(gè)算法。因?yàn)楫?dāng)時(shí)連c++編程都不會(huì)，所以更別談實(shí)現(xiàn)這篇paper的算法，因?yàn)槠渲羞€涉及到opengl的一些相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，如紋理貼圖等。就這樣，磕磕碰碰，外加整天玩游戲DNF，所以這篇paper的算法，花了一學(xué)期的時(shí)間，都還沒搞懂，直到第一學(xué)期結(jié)束時(shí)，被導(dǎo)師狠批了一頓，才決定好好學(xué)習(xí)，開始學(xué)習(xí)c++、opengl、開始走上科研學(xué)術(shù)之路……

三角網(wǎng)格曲面的參數(shù)化，是一種降維的思想，因?yàn)樵谌S圖像上，直接對三維的曲面空間模型進(jìn)行處理，會(huì)很難。因此很多時(shí)候，我們需要采用降維的方法，把三維轉(zhuǎn)換到二維，在二維上對網(wǎng)格曲面進(jìn)行相關(guān)的處理就容易多了。因此每一年Siggraph都可以看到有好多篇關(guān)于參數(shù)化的文獻(xiàn)。今天要講的這篇paper，是一種局部參數(shù)化，根據(jù)測地極坐標(biāo)進(jìn)行參數(shù)化的方法。文獻(xiàn)的主頁：http://www.dgp.toronto.edu/~rms/software/expmapdemo.html?。

參數(shù)化效果的評價(jià)指標(biāo)，一般是通過紋理貼圖的效果，測試貼圖后，圖片的扭曲程度。下面是《Interactive Decal Compositing with Discrete Exponential Maps》這篇文章的相關(guān)效果：

好吧，寫到這邊突然沒有了激情，所以后面還是勉強(qiáng)貼一貼，隨便講一講。算法原理：算法主要是通過Dijkstra算法進(jìn)行廣度優(yōu)先遍歷，不斷更新地把每個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到其已經(jīng)被更新的頂點(diǎn)所在的平面上。

由于DEM和DGPC的參數(shù)化算法，都是通過Dijkstra算法進(jìn)行擴(kuò)散傳播的，其每個(gè)頂點(diǎn)參數(shù)坐標(biāo)的計(jì)算是依據(jù)其最短路徑上的前一個(gè)鄰接頂點(diǎn)來計(jì)算得到的，因此各頂點(diǎn)參數(shù)化精度依賴于其前一個(gè)頂點(diǎn)。為了降低其對最短路徑上前一個(gè)頂點(diǎn)精度的依賴性，提高算法的穩(wěn)定性和魯棒性，Schmidt等提出通過加權(quán)平均的方法(Frame-Propagation?DEM,?PDEM)，對原來離散指數(shù)映射進(jìn)行了改進(jìn)。PDEM參數(shù)化算法基本原理與DEM算法一樣，只是改變了公式中的權(quán)重，具體實(shí)現(xiàn)如下：通過把離散指數(shù)映射測地向量的計(jì)算公式：

改為：

式中，權(quán)重取距離的倒數(shù)，即，ε取一個(gè)相對較小的數(shù)。同樣的，基底矢量的計(jì)算公式改為：

式中是q點(diǎn)的法向量到x的法向量之間的旋轉(zhuǎn)矩陣。

改進(jìn)的離散指數(shù)映射每個(gè)點(diǎn)測地向量、坐標(biāo)基底的計(jì)算方法不再是簡單的由一個(gè)點(diǎn)來計(jì)算P點(diǎn)的測地向量(圖3.8a)，而是由P點(diǎn)的鄰接頂點(diǎn)中的已知點(diǎn)通過加權(quán)平均的方法來計(jì)算(圖3.8b)，這樣可以讓算法變得更加穩(wěn)定。相比原來的僅僅由Dijkstra傳播頂點(diǎn)來直接計(jì)算，通過加權(quán)平均的方法可以提高算法的穩(wěn)定性。

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圖3.8?傳播原理圖

如圖3.9所示，在凸起模型上進(jìn)行局部參數(shù)化時(shí)，采用DEM算法的棋盤格紋理扭曲較為嚴(yán)重，穩(wěn)定性較差，而PDEM算法則具有更好的魯棒性。

圖3.9?凸起模型參數(shù)化比較

參考文獻(xiàn)：

1、《Interactive Decal Compositing with Discrete Exponential Maps》

《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實(shí)踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图形处理（一）离散指数映射参数化-Siggraph 2006的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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