生活随笔
收集整理的這篇文章主要介紹了
图形处理（十二）拉普拉斯网格优化、最小二乘网格模型光顺
小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.
看這篇博文前，請先參考我的另外一篇博文《圖形處理（三）簡單拉普拉斯網格變形-Siggraph 2004》學習拉普拉斯坐標的相關理論知識。這里要分享的paper，是通過拉普拉斯的方法實現三角網格模型的優化。如果你已經非常熟悉三角網格曲面的拉普拉斯相關理論，實現這篇paper也就非常容易了。網格曲面的拉普拉斯坐標不但可以用于變形、光順，還可以用于優化，總之好處多多，你只要學會了這一招，那么就可以學會這些算法了。
一、優化原理
利用Laplacian?坐標重建的方法進行網格光順，原理很簡單，最簡單的就是只要把源網格模型Laplacian?坐標δ的模長縮小，方向不變，就可以然后進行Laplacian?網格重建，就可以實現簡單的光順效果。
然而如果要進行網格優化呢？怎么實現？大牛們告訴我們一個比較規則的網格模型一個特點：當網格曲面上任意頂點的局部片中包含的所有三角面片都為等腰三角形時，該頂點的同一Laplacian?坐標和余切Laplacian?坐標相等。當將上述結論由某一個三角面片擴展到整個模型表面時可以發現：如果所有的三角面片都接近于正三角形，所有頂點的同一Laplacian?坐標和余切Laplacian?坐標接近相等。
ok，上面的原理便是paper的思想，只要你懂得了抓住這個思想，那么算法實現起來就容易了。
在三角網格曲面上，頂點vi的拉普拉斯坐標定義為，vi點與其一鄰接頂點加權組合的差：
當然權重wij需要滿足歸一化
權值的選取很多，但比較常用的權值是均勻權、余切權，其計算公式如下：
二、網格優化算法實現
算法原理主要是：
1、通過先求解網格曲面余切權計算得到的Laplacian?坐標δ
2、構建均勻權下的拉普拉斯矩陣A
3、然后求解AX=δ.
[cpp]?view plaincopy
void?CMeshOptimize::OptimizeMesh(TriMesh*Tmesh)?? {?? ????Tmesh->need_neighbors();?? ????int?vn=Tmesh->vertices.size();?? ?????? ????int?count0=0;?? ????vector<int>begin_N(vn);?? ????for?(int?i=0;i<vn;i++)?? ????{????? ????????begin_N[i]=count0;?? ????????count0+=Tmesh->neighbors[i].size()+1;?? ????}?? ????typedef?Eigen::Triplet<double>?T;?? ????std::vector<T>?tripletList(count0+vn);?? ????for(int?i=0;i<vn;i++)?? ????{?? ????????int?nei_n=Tmesh->neighbors[i].size();?? ????????tripletList[begin_N[i]]=T(i,i,-1.0*nei_n);?? ????????for?(int?k?=?0;k<nei_n;++k)??? ????????{?? ????????????tripletList[begin_N[i]+k+1]=T(i,Tmesh->neighbors[i][k],1);?? ????????}?? ????}?? ?????? ????m_boundary_wieght=100*m_contrain_weight;?? ????for?(int?i=0;i<vn;i++)?? ????{?? ????????if(Tmesh->is_bdy(i))tripletList[count0+i]=T(vn+i,i,m_boundary_wieght);?? ????????else?tripletList[count0+i]=T(vn+i,i,m_contrain_weight);?? ????}?? ?? ????SparseMatrixType?Ls(2*vn,vn);??? ????Ls.setFromTriplets(tripletList.begin(),?tripletList.end());?? ?? ?????? ????SparseMatrixType?ls_transpose=Ls.transpose();?? ????SparseMatrixType?LsLs?=ls_transpose*?Ls;?? ????vector<Eigen::VectorXd>?RHSPos;?? ????Compute_RHS(RHSPos);?? ????Eigen::SimplicialCholesky<SparseMatrixType>MatricesCholesky(LsLs);?? ????#pragma?omp?parallel?for?? ????for?(int?i=0;i<3;i++)?? ????{?? ????????Eigen::VectorXd?xyzRHS=ls_transpose*RHSPos[i];?? ????????Eigen::VectorXd?xyz=MatricesCholesky.solve(xyzRHS);?? ????????for(int?j=0;j<vn;j++)?? ????????{?? ????????????Tmesh->vertices[j][i]=xyz[j];?? ????????}?? ????}?? ?????? }?? ?? void?CMeshOptimize::Compute_RHS(vector<Eigen::VectorXd>?&RHSPos)?? {?? ????int?vn=m_OptimizeMesh->vertices.size();?? ????m_OptimizeMesh->need_neighbors();?? ????m_OptimizeMesh->need_adjacentfaces();?? ????RHSPos.clear();?? ????RHSPos.resize(3);?? ????for?(int?i=0;i<3;i++)?? ????{?? ????????RHSPos[i].resize(2*vn);?? ????????RHSPos[i].setZero();?? ????}?? ?? ????int?fn=m_OptimizeMesh->faces.size();?? ????m_OptimizeMesh->need_adjacentedges();?? ????#pragma?omp?parallel?for?? ????for?(int?i=0;i<vn;i++)?? ????{????? ????????vector<float>CotWeight;?? ????????float?SumWeight;?? ????????CotangentWeights(m_OptimizeMesh,i,CotWeight,SumWeight);?? ????????int?nei_n=m_OptimizeMesh->neighbors[i].size();?? ?????????? ????????vector<int>&a=m_OptimizeMesh->neighbors[i];?? ????????vec?ls;?? ????????for?(int?j=0;j<nei_n;j++)?? ????????{????? ????????????ls=ls+CotWeight[j]*m_OptimizeMesh->vertices[a[j]];?? ????????}?? ????????ls=ls-SumWeight*m_OptimizeMesh->vertices[i];?? ????????for?(int?j=0;j<3;j++)?? ????????{?? ????????????RHSPos[j][i]=ls[j];?? ????????}?? ????}?? ????for?(int?i=vn;i<2*vn;i++)?? ????{?? ????????for?(int?j=0;j<3;j++)?? ????????{????? ????????????if(m_OptimizeMesh->is_bdy(i-vn))RHSPos[j][i]=m_OptimizeMesh->vertices[i-vn][j]*m_boundary_wieght;?? ????????????else?RHSPos[j][i]=m_OptimizeMesh->vertices[i-vn][j]*m_contrain_weight;?? ????????}?? ????}?? ?? ?? }?? ?? void?CMeshOptimize::CotangentWeights(TriMesh*TMesh,int?vIndex,vector<float>&vweight,float?&WeightSum)?? {????? ????int?NeighborNumber=TMesh->neighbors[vIndex].size();?? ????vweight.resize(NeighborNumber);?? ????WeightSum=0;?? ????vector<int>&NeiV=TMesh->neighbors[vIndex];?? ????for?(int?i=0;i<NeighborNumber;i++)?? ????{?? ????????int?j_nei=NeiV[i];?? ????????vector<int>tempnei;?? ????????Co_neighbor(TMesh,vIndex,j_nei,tempnei);?? ????????float?cotsum=0.0;?? ????????for?(int?j=0;j<tempnei.size();j++)?? ????????{?? ????????????vec?vivo=TMesh->vertices[vIndex]-TMesh->vertices[tempnei[j]];?? ????????????vec?vjvo=TMesh->vertices[j_nei]-TMesh->vertices[tempnei[j]];?? ????????????float?dotvector=vivo?DOT?vjvo;?? ????????????dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);?? ????????????cotsum+=dotvector;?? ????????}?? ????????vweight[i]=cotsum/2.0;?? ????????WeightSum+=vweight[i];?? ????}?? ????for?(int?k=0;k<NeighborNumber;++k)?? ????{?? ????????vweight[k]=NeighborNumber*vweight[k]/WeightSum;?? ????}?? ????WeightSum=NeighborNumber;?? ?? }?? void?CMeshOptimize::Co_neighbor(TriMesh?*Tmesh,int?u_id,int?v_id,vector<int>&co_neiv)?? {?? ????Tmesh->need_adjacentedges();?? ????vector<int>&u_id_ae=Tmesh->adjancetedge[u_id];??? ????int?en=u_id_ae.size();?? ????Tedge?Co_Edge;?? ????for?(int?i=0;i<en;i++)?? ????{?? ????????Tedge?&ae=Tmesh->m_edges[u_id_ae[i]];?? ????????int?opsi=ae.opposite_vertex(u_id);?? ????????if?(opsi==v_id)?? ????????{?? ????????????Co_Edge=ae;?? ????????????break;?? ????????}?? ????}?? ????for?(int?i=0;i<Co_Edge.m_adjacent_faces.size();i++)?? ????{?? ????????TriMesh::Face?af=Tmesh->faces[Co_Edge.m_adjacent_faces[i]];?? ????????for?(int?j=0;j<3;j++)?? ????????{?? ????????????if((af[j]!=u_id)&&(af[j]!=v_id))?? ????????????{?? ????????????????co_neiv.push_back(af[j]);?? ????????????}?? ????????}?? ????}?? }??
至此三角網格的優化可以說算法講完了。因為算法比較簡答，本篇文章篇幅比較小，所以在這篇博文中順便講一下最小二乘網格的相關概念。
參考文獻：Laplacian Mesh Optimization
三、最小二乘網格相關理論
這邊順便講一下最小二乘網格，最小二乘網格最初的概念來源于paper《Least-squares Meshes》，我最初看到最小二乘網格這個概念是在paper《基于最小二乘網格的模型變形算法》中看到的，因為之前學習微分域的網格變形算法的時候，基本上對每種變形算法都有看過相關的paper，用最小二乘網格的方法實現網格變形，其實跟基于多分辨率的網格變形算法是一樣的，都是對低頻空間中的網格模型進行變形操作。
最小二乘網格模型又稱為全局的拉普拉斯光順網格，就是通過把網格模型的拉普拉斯坐標設置為0，然后求解拉普拉斯方程：
即：
其中權重wij為：
這樣重建求解的網格即為最小二乘網格，也是一個光順后的網格模型，因為該模型的拉普拉斯坐標全部為0。
當然求解上面的方程還需要控制頂點，控制頂點的個數對效果的影響還是蠻大的，可以看一下下面這個圖：
總之就是控制頂點的個數越少，越是光順。
在paper《Least-squares Meshes》中還演示了通過給定的拓撲鏈接關系，進行網格補洞，與原網格模型的區別。
本文地址：http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/46505863?? ? 作者：hjimce ? ? 聯系qq：1393852684 ??更多資源請關注我的博客：http://blog.csdn.net/hjimce? ? ? ? ? ? ? ? 原創文章，版權所有，轉載請保留本行信息。
參考文獻：
1、《Least-squares Meshes》
2、《Laplacian Mesh Optimization》
3、《基于最小二乘網格的模型變形算法》
總結
以上是生活随笔為你收集整理的图形处理（十二）拉普拉斯网格优化、最小二乘网格模型光顺的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。
