上研究生的時候接觸的第一個Loss function就是least square。最近又研究了一下，做個總結吧。

定義看wiki就夠了。公式如下

E(w)=12∑n=1N{y?xWT}2E(w)=12∑n=1N{y?xWT}2

其中yy代表類標列向量，xx代表特征行向量，WW代表回歸或者分類參數矩陣。通過令歐式距離最小化優化得到最優的WW。

我遇到的第一個問題是，這個公式是怎么得到的，motivation是什么。我個人傾向于最大似然這個角度來解釋。具體如下：

假設回歸或分類模型公式如下：

y=WTx+?y=WTx+?

?～N(0,σ2)?～N(0,σ2)代表加性高斯噪聲，所以y～N(WTx,σ2)y～N(WTx,σ2)。這時通過獨立觀測xx得到一系列的觀測值X=(x1,y1)….,(xN,yN)X=(x1,y1)….,(xN,yN)，則可寫出對應的似然函數

p(y∣X,w,σ)=ΠNn=1N(WTx,σ2)p(y∣X,w,σ)=Πn=1NN(WTx,σ2)

兩邊同取自然對數，則

ln(p(y∣X,w,σ))=∑i=1Nln(N(WTx,σ2))ln(p(y∣X,w,σ))=∑i=1Nln(N(WTx,σ2))

而N(WTx,σ2)=12πσ2√exp(?(y?WTx2)2σ2)N(WTx,σ2)=12πσ2exp?(?(y?WTx)22σ2)

故

ln(p(y∣X,w,σ))=?12σ2∑n=1N{yn?WTxn}2?12ln(2πσ2)ln(p(y∣X,w,σ))=?12σ2∑n=1N{yn?WTxn}2?12ln(2πσ2)

最大似然函數，求解W,

W?=argminW?12σ2∑n=1N{yn?WTxn}2?12ln(2πσ2)W?=argminW?12σ2∑n=1N{yn?WTxn}2?12ln(2πσ2)

上式中第二項與WW無關，可以省略，故

W?=argminW?12σ2∑n=1N{yn?WTxn}2W?=argminW?12σ2∑n=1N{yn?WTxn}2

把上式中的σ2σ2取掉，就是我們熟悉的最小二乘法啦。

求解時，對對數似然函數求偏導（注意矩陣求導的規則）

?ln(p(y∣X,w,σ))=?∑Nn=1{yn?WTxn}xTn?ln(p(y∣X,w,σ))=?∑n=1N{yn?WTxn}xnT?令上式為0，則有

∑n=1NynxTn=WT∑n=1NxnxTn∑n=1NynxnT=WT∑n=1NxnxnT

兩邊同取矩陣的逆，則有：?∑Nn=1xnyTn=∑Nn=1xnxTnW∑n=1NxnynT=∑n=1NxnxnTW

如果用YY表示類標矩陣，XX表示特征矩陣，則有?XYT=XXTWXYT=XXTW?W=(XXT)?1XYTW=(XXT)?1XYT

上面的公式稱為normal equation。可以求得WW的封閉解，但是只要做過實驗的都知道，如果XX的維數稍微一大，求逆的過程非常非常非常慢，且要消耗非常非常多的資源。所以WW一般用梯度下降法求解。

最大似然法在一定程度上證明了最小二乘法的合理性，但是事實上在歷史上最小二乘的出現早于前者，所以可以從其它的角度思考一下最小二乘的合理性。比如最小二乘的幾何意義，這篇文章講的挺好的，看了之后受益匪淺。

from:?http://bucktoothsir.github.io/blog/2015/12/04/leastsquare/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最小二乘法least square的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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