概率统计：第七章 参数估计
第七章??參數估計
內容提要：
一、????????點估計
1、設為總體的樣本，總體的分布函數形式已知，為待估參數，?為對應的樣本觀測值。點估計問題就是構造一個適當的統計量，用其觀測值來估計待估參數的取值。這里稱為的估計量，稱為的估計值，兩者統稱的估計。這種對未知參數的定點估計稱為未知參數的點估計。
2、以樣本的各階原點矩作為總體的各階原點矩得到的估計量，以樣本的各階原點矩的連續函數作為總體的各階原點矩的連續函數的估計量的估計方法稱為矩估計法。
3、設總體具有分布率（或概率密度），為未知參數向量，設為來自的樣本，則（）的聯合分布率（或聯合概率密度）：
???????或
稱為樣本的似然函數。
對樣本的任何觀測值（），若
???????????
則稱為參數的最大似然估計值，為參數的最大似然估計量。
若或關于可微，則參數的最大似然估計可以通過方程：
????????????????????????
得到。又為的單調函數，因此參數的最大似然估計亦可通過方程：
得到，后一方程的求解往往較前者方便得多。
二、????????估計量的評價標準
1、??若估計量的數學期望存在，且對于任意，滿足：
則稱為參數的無偏估計量。
2、設與都是參數的無偏估計量，若對于任意，滿足：??????
則稱較有效。
2、????若是參數的估計量,若對于任意，當時以概率收斂于，即，成立，則稱為參數的相合估計量。
三、????????區間估計
1、設總體的分布函數形式已知，為未知參數，若對于給定，存在兩個統計量與，對于任意，滿足：
?????
則稱隨機區間為參數的置信水平為的雙側置信區間，和分別稱為對應置信區間的置信下限和置信上限，稱為置信水平，稱為顯著性水平。
3、??正態總體均值與方差的區間估計見下表
基本要求：
1、??理解未知參數的估計量，估計值，點估計的概念；
2、??掌握未知參數的矩估計法，最大似然估計法原理及求解方法；
3、??理解估計量的無偏性，有效性，相合性的概念并會驗證估計量的無偏性和有效性；
4、??理解區間估計概念，會求解單個正態總體及兩個正態總體均值與方差的相關置信區間。
本章難點：矩估計，最大似然估計的理論基礎，區間估計中隨機區間及相應概率的理解。
本章重點：矩估計，最大似然估計，區間估計的求解，估計量無偏性、有效性的驗證。
難點解析：
1、??????????????矩估計的理論基礎：辛欽大數定律
設總體的階矩存在，樣本階矩記為，即，由辛欽大數定律：???????????????
???????，
即無論總體分布如何（只要期望存在），樣本階矩隨樣本容量的增大將越來越趨近于總體對應的階矩。
?
2、??????????????最大似然估計的理論基礎：統計推斷原理
在一次隨機實驗中，某一事件發生了，則該事件應不是小概率事件。
3、??????????????對置信區間的置信水平的理解：
大量重復抽樣下，將子樣觀測值代入可求得許多確定的區間，其中大約100(1-)%的區間包含在內，而由樣本值得到的一個具體區間，則可能包含，也可能不包含。
典型例題分析：
例1：設為總體的樣本，為對應的樣本觀測值，設總體的分布律為???????????????????
為未知參數，求未知參數的矩估計及最大似然估計。
解析：按照離散型隨機變量未知參數的矩估計及最大似然估計的計算過程逐步進行。
解：（1）由題設知總體的期望，從而，樣本的均值為，令代替，得到未知參數的矩估計量和估計分別為：
???????????????????
（2）設為樣本的一組觀測值，從而似然函數
從而
?????
令?????????????
得的最大似然估計值為：?==，
?的最大似然估計量為：=。
例2：設是來自參數為的泊松分布總體的一個樣本，試求參數的最大似然估計及矩估計。
分析：按照連續型隨機變量求解矩估計和最大似然估計的計算過程逐步進行。
解：1）由題設知總體的期望，樣本的均值為，令代替，得到未知參數的矩估計量和估計值分別為：
????????????????????????????
（2）設為樣本的一組觀測值，從而似然函數
從而?????????????
令?????????????????
得的最大似然估計值為：=，?的最大似然估計量為：=。
例3：設總體服從上的均勻分布，未知，設為總體的樣本。
試求：（1）求參數的矩估計；
?????（2）求參數的最大似然估計；
?????（3）證明：，及均為的無偏估計；
?????（4）證明：較、有效。
分析：要真正理解最大似然估計方法的理論基礎，掌握參數估計量無偏性、有效性的證明過程。
解:
(1)由題設知總體的期望，設為樣本均值，令代替，得到未知參數的矩估計量和估計值分別為：
????????????????????????????
（2）設為樣本的一組觀測值，從而似然函數
要使達到最大，
應使并且
，又當時，達到最大，因此的最大似然估計值為：，的最大似然估計量為：=。
（3）由題設，；
由的概率密度函數：????
知???????；
由的概率密度函數：?????????
知??；
故，及均為的無偏估計。
（4）由題設：；
????，；，；
又<<，從而較、有效。
例4：設從均值為，方差為的總體中分別抽取樣本容量為的兩個獨立樣本，分別是兩樣本均值，證明：對任意常數，都是的無偏估計，并確定常數使達到最小。
解：由題設：??????????；
；
由于；
從而：。
從而對任意常數，都是的無偏估計。
由的獨立性??，
?????????????????????????????
令??????????????，
得，此時；
又，
從而當，時，?達到最小
例5：設某種調味包的袋凈重服從，今測得9袋的重量（單位；兩）分別為
6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0
求：1）據以往經驗知，求的置信水平為0.95的置信區間；
2）未知，求的置信水平為0.95的置信區間；
3）求的置信水平為0.95的置信區間。
解：1）由題設，總體，已知，
且，，，
代入方差已知的的置信水平為的置信區間
??????????????
得的置信水平為0.95的置信區間為（）=（5.608，6.392）。
2）由題設，總體，未知，
且，，，，
代入方差未知的的置信水平為的置信區間
??????????????
得的置信水平為0.95的置信區間為（）=（5.558，6.442）。
3）由題設，總體，
且，，，，
代入的置信水平為的置信區間
??????????????
得的置信水平為0.95的置信區間為（0.1506，1.211）。
例6：為比較兩種類型的燈泡的壽命，現隨機隨機抽取A型號燈泡10只，B型號燈泡10只，測得壽命（單位:小時）如下：
A型號：560，590，560，570，580，570，600，550，570，550；
B型號：620，570，650，600，630，580，570，600，600，580；
設A,B兩種類型燈泡壽命分別服從正態分布。
求：1）設方差相同，求兩種型號燈泡壽命期望之差的置信水平為0.95的置信區間；
2）求方差比值的置信水平為0.95的置信區間。
解：將兩種類型燈泡壽命分別看作為總體，且，
1）由題設，
且，，
，
代入方差未知但相等的的置信水平為的置信區間
??????????????
得的置信水平為0.95的置信區間為（9，51）。
1）由題設知：，，
，
代入的置信水平為的置信區間
??????????????
得的置信水平為0.95的置信區間為（0.0931，1.571）。
?
自測題：
一、填空題：
1、設總體服從上的均勻分布，未知，為總體的樣本，則的矩估計為????????????????，的最大似然估計為????????????????。
2、設總體的均值為，方差為，為總體的樣本，，則??????????，?=???????????????。
3、設總體服從指數分布，其概率密度，其中未知，為總體的樣本，則當時，的估計量中比較有效的統計量為???????????????。
4、設總體，從中抽取容量為9的隨機樣本，測得樣本均值為5，則參數置信水平為0.95的置信區間為???????????????。
二、解答題：
5、設是來自總體的一個樣本，
（1）確定常數，使為的無偏估計；
（2）確定常數，使是的無偏估計，其中分別為樣本均值，樣本分差
6、設是來自總體x的樣本，
試證：（1）是的無偏估計
（2）在u的一切形如的估計中，最有效
7、設總體的密度函數為??是來自總體的樣本,求參數的矩估計量與最大似然估計值
8、為比較甲、乙兩種電子管壽命，從甲中隨機抽取80只，測得樣本均值=2000（小時），標準差=80（小時），從乙中隨機抽取100只，測得樣本均值=1900（小時），=100（小時），假定兩種電子管壽命服從方差相等的正態分布且相互獨立，試求置信水平為0.95的的置信區間。
答案：
1、，???????2、，???????3、?????????4、（4.412,5.588）????5、(1)??C=,(2)??C=
7、?????????8、(64.5,135.5)
from:?http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap7.htm
總結
以上是生活随笔為你收集整理的概率统计：第七章 参数估计的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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