线性代数：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（2）线性方程组的解 初等方阵
第三節 線性方程組的解
一.?數學概念
根據矩陣的乘法，可以將線性方程組寫成矩陣形式。
1.?n元齊次線性方程組??；
2.?n元非齊次線性方程組??；
3.?稱A為方程組的系數矩陣，B=(A，b)為非齊次線性方程組的增廣矩陣。
二．原理、公式和法則
定理3.1??n元齊次線性方程組??有非零解的充分必要條件的系數矩陣A的秩
R(A)<n。
定理3.2??n元非齊次線性方程組??有解的充分必要條件的系數矩陣A的秩等于增廣矩陣B=(A，b)的秩。
顯然定理3.1是判斷齊次線性方程組有什么樣解的問題，而定理3.2是用來判斷非齊次線性方程組有沒有解的問題。
三.?重點、難點分析
本節的重點是會用定理3.1、3.2判定齊次線性方程組有怎樣解和非齊次線性方程組有沒有解。難點的如何求出方程組的解和怎樣深刻理解定理3.1、3.2的證明。定理的證明雖然簡單明了，但用前面已學過的許多知識，并且方法獨特，不易掌握和理解。
四.?典型例題
例1?求解齊次線性方程組
??
解：對系數矩陣A施行初等行變換為行最簡形矩陣：
即得與方程組同解的方程組
由此即得
令??，把它寫成通常的參數形式
????
其中??為任意實數，或寫成向量形式
??
例2.?設有線性方程組
問??取何值時，此方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無限多個解？并在有無限多解時求其通解。
解：對增廣矩陣B=(A，b)作初等行變換把它變為行階梯形矩陣，有
??????
當??時，R(A)=?R(B)=3，方程組有唯一解；
當??時，R(A)=1，?R(B)=2，方程組無解；
當??時，R(A)=?R(B)=2，方程組有無限多個解，
當??時，
????
由此便得通解
????
即
?????
通過上面的實例，我們可知對于齊次線性方程組，只須把它的系數矩陣化為行最簡形矩陣，找出與原方程組等價的線性方程組，便能寫出通解。對于非齊次線性方程組，只須把它??增廣矩陣化成行列階梯矩陣，便能根據定理3.2判斷它是否有解；在有解時，把增廣矩陣進一步化成最簡形矩陣，從而寫出它的通解。
第四節?初等方陣
一.?數學概念
定義4.1??由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣。
1.?對調單位矩陣的兩行(列)，得E[i，j];
2.?以數??乘某行或某列，得E[i(k)]???;
3.?以數k乘某行(列)加到另一行(列)上去，得E[i，j(k)].
4.?初等方陣均為可逆的方陣，其逆仍是同種的初等方陣。
二.?原理公式和法則
定理4.1??設A是一個??矩陣對A施行一次初等行變換，相當于在A是左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A右邊乘以相應的n階初等方陣。
定理4.2??設A為可逆矩陣，則存在有限個初等矩陣??。
推論??????矩陣A~B的充分必要條件是：存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q使PAQ=B。
求逆公式
???????????
求??的公式
??????????????
三.?重點、難點分析
本節的重點是用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣。難點是用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法與技巧，以上面公式的推導。
四.?典型例題
例1設
?。
??解：
???。
利用初等行變換求可逆矩陣的方法，還可用于求矩陣??。由
可知，若對(A|B)施行初等行變換，當把A變成E時，B就變成??。
例2.?求矩陣X，使AX=B，其中
解：若A可逆，則??.
??
因此
???。
本例用初等行變換的方法求得??，如果要求??，則可對矩陣??作初等列變換，使
?，
即可得??。不過通常都習慣作初等行變換，那末可改為對??作初等行變換，使
?，
即可得??，從而求得Y。
第四節?初等方陣
一.?數學概念
定義4.1??由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣。
1.?對調單位矩陣的兩行(列)，得E[i，j];
2.?以數??乘某行或某列，得E[i(k)]???;
3.?以數k乘某行(列)加到另一行(列)上去，得E[i，j(k)].
4.?初等方陣均為可逆的方陣，其逆仍是同種的初等方陣。
二.?原理公式和法則
定理4.1??設A是一個??矩陣對A施行一次初等行變換，相當于在A是左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A右邊乘以相應的n階初等方陣。
定理4.2??設A為可逆矩陣，則存在有限個初等矩陣??。
推論??????矩陣A~B的充分必要條件是：存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q使PAQ=B。
求逆公式
???????????
求??的公式
??????????????
三.?重點、難點分析
本節的重點是用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣。難點是用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法與技巧，以上面公式的推導。
四.?典型例題
例1設
?。
??解：
???。
利用初等行變換求可逆矩陣的方法，還可用于求矩陣??。由
可知，若對(A|B)施行初等行變換，當把A變成E時，B就變成??。
例2.?求矩陣X，使AX=B，其中
解：若A可逆，則??.
??
因此
???。
本例用初等行變換的方法求得??，如果要求??，則可對矩陣??作初等列變換，使
?，
即可得??。不過通常都習慣作初等行變換，那末可改為對??作初等行變換，使
?，
即可得??，從而求得Y。
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（2）线性方程组的解 初等方阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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