1. 概述

堆（也叫優先隊列），是一棵完全二叉樹，它的特點是父節點的值大于（小于）兩個子節點的值（分別稱為大頂堆和小頂堆）。它常用于管理算法執行過程中的信息，應用場景包括堆排序，優先隊列等。

2. 堆的基本操作

堆是一棵完全二叉樹，高度為O（lg n），其基本操作至多與樹的高度成正比。在介紹堆的基本操作之前，先介紹幾個基本術語：

A：用于表示堆的數組，下標從1開始，一直到n

PARENT(t)：節點t的父節點，即floor(t/2)

RIGHT(t)：節點t的左孩子節點，即:2*t

LEFT(t)：節點t的右孩子節點，即:2*t+1

HEAP_SIZE(A)：堆A當前的元素數目

下面給出其主要的四個操作（以大頂堆為例）：

2.1 Heapify(A,n,t)

該操作主要用于維持堆的基本性質。假定以RIGHT(t)和LEFT(t)為根的子樹都已經是堆，然后調整以t為根的子樹，使之成為堆。

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void Heapify(int A[], int n, int t) { ??int left = LEFT(t); ??int right = RIGHT(t); ??int max = t; ??if(left <= n)???? max = A[left] > A[max] ? left : max; ??if(right <= n)???? max = A[right] > A[max] ? right : max; ??if(max != A[t]) ??{ ????swap(A, max, t); ????Heapify(A, n, max); ??} }

2.2? BuildHeap(A,n)

該操作主要是將數組A轉化成一個大頂堆。思想是，先找到堆的最后一個非葉子節點（即為第n/2個節點），然后從該節點開始，從后往前逐個調整每個子樹，使之稱為堆，最終整個數組便是一個堆。

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void BuildHeap(int A[], int n) { ??int i; ??for(i = n/2; i<=n; i++) ??Heapify(A, n, i); }

2.3 GetMaximum(A,n)

該操作主要是獲取堆中最大的元素，同時保持堆的基本性質。堆的最大元素即為第一個元素，將其保存下來，同時將最后一個元素放到A[1]位置，之后從上往下調整A，使之成為一個堆。

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void GetMaximum(int A[], int n) { ??int max = A[1]; ??A[1] = A[n]; ??n--; ??Heapify(A, n, 1); ??return max; }

2.4? Insert(A, n, t)

向堆中添加一個元素t，同時保持堆的性質。算法思想是，將t放到A的最后，然后從該元素開始，自下向上調整，直至A成為一個大頂堆。

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void Insert(int A[], int n, int t) { ??n++; ??A[n] = t; ??int p = n; ??while(p >1 && A[PARENT(p)] < t) ??{ ????A[p] = A[PARENT(p)]; ????p = PARENT(p); ??} ??A[p] = t; ??return max; }

3.? 堆的應用

3.1? 堆排序

堆的最常見應用是堆排序，時間復雜度為O(N lg N)。如果是從小到大排序，用大頂堆；從大到小排序，用小頂堆。

3.2? 在O(n lg k)時間內，將k個排序表合并成一個排序表，n為所有有序表中元素個數。

【解析】取前100 萬個整數，構造成了一棵數組方式存儲的具有小頂堆，然后接著依次取下一個整數，如果它大于最小元素亦即堆頂元素，則將其賦予堆頂元素，然后用Heapify調整整個堆，如此下去，則最后留在堆中的100萬個整數即為所求 100萬個數字。該方法可大大節約內存。

3.3 一個文件中包含了1億個隨機整數，如何快速的找到最大(小)的100萬個數字?（時間復雜度：O（n lg k））

4. 總結

堆是一種非常基礎但很實用的數據結構，很多復雜算法或者數據結構的基礎就是堆，因而，了解和掌握堆這種數據結構顯得尤為重要。

5. 參考資料

（1）經典算法教程《算法導論》

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更多關于數據結構和算法的介紹，請查看：數據結構與算法匯總

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构之堆Heap的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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