数据结构之Trie树
Trie樹，又稱字典樹，單詞查找樹或者前綴樹，是一種用于快速檢索的多叉樹結(jié)構，如英文字母的字典樹是一個26叉樹，數(shù)字的字典樹是一個10叉樹。
Trie一詞來自retrieve，發(fā)音為/tri:/ “tree”，也有人讀為/tra?/ “try”。
Trie樹可以利用字符串的公共前綴來節(jié)約存儲空間。如下圖所示，該trie樹用10個節(jié)點保存了6個字符串tea，ten，to，in，inn，int：
在該trie樹中，字符串in，inn和int的公共前綴是“in”，因此可以只存儲一份“in”以節(jié)省空間。當然，如果系統(tǒng)中存在大量字符串且這些字符串基本沒有公共前綴，則相應的trie樹將非常消耗內(nèi)存，這也是trie樹的一個缺點。
Trie樹的基本性質(zhì)可以歸納為：
（1）根節(jié)點不包含字符，除根節(jié)點意外每個節(jié)點只包含一個字符。
（2）從根節(jié)點到某一個節(jié)點，路徑上經(jīng)過的字符連接起來，為該節(jié)點對應的字符串。
（3）每個節(jié)點的所有子節(jié)點包含的字符串不相同。
2、 Trie樹的基本實現(xiàn)
字母樹的插入（Insert）、刪除（ Delete）和查找（Find）都非常簡單，用一個一重循環(huán)即可，即第i 次循環(huán)找到前i 個字母所對應的子樹，然后進行相應的操作。實現(xiàn)這棵字母樹，我們用最常見的數(shù)組保存（靜態(tài)開辟內(nèi)存）即可，當然也可以開動態(tài)的指針類型（動態(tài)開辟內(nèi)存）。至于結(jié)點對兒子的指向，一般有三種方法：
1、對每個結(jié)點開一個字母集大小的數(shù)組，對應的下標是兒子所表示的字母，內(nèi)容則是這個兒子對應在大數(shù)組上的位置，即標號；
2、對每個結(jié)點掛一個鏈表，按一定順序記錄每個兒子是誰；
3、使用左兒子右兄弟表示法記錄這棵樹。
三種方法，各有特點。第一種易實現(xiàn)，但實際的空間要求較大；第二種，較易實現(xiàn)，空間要求相對較小，但比較費時；第三種，空間要求最小，但相對費時且不易寫。
下面給出動態(tài)開辟內(nèi)存的實現(xiàn)：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 | #define MAX_NUM 26 enumNODE_TYPE{ //"COMPLETED" means a string is generated so far. ??COMPLETED, ??UNCOMPLETED }; structNode { ??enumNODE_TYPE type; ??charch; ??structNode* child[MAX_NUM]; //26-tree->a, b ,c, .....z }; structNode* ROOT; //tree root structNode* createNewNode(charch){ ??// create a new node ??structNode *new_node = (structNode*)malloc(sizeof(structNode)); ??new_node->ch = ch; ??new_node->type == UNCOMPLETED; ??inti; ??for(i = 0; i < MAX_NUM; i++) ????new_node->child[i] = NULL; ??returnnew_node; } voidinitialization() { //intiazation: creat an empty tree, with only a ROOT ROOT = createNewNode(' '); } intcharToindex(charch) { //a "char" maps to an index<br> returnch - 'a'; } intfind(constchar chars[], intlen) { ??structNode* ptr = ROOT; ??inti = 0; ??while(i < len) { ???if(ptr->child[charToindex(chars[i])] == NULL) { ???break; ??} ??ptr = ptr->child[charToindex(chars[i])]; ??i++; ??} ??return(i == len) && (ptr->type == COMPLETED); } voidinsert(constchar chars[], intlen) { ??structNode* ptr = ROOT; ??inti; ??for(i = 0; i < len; i++) { ???if(ptr->child[charToindex(chars[i])] == NULL) { ????ptr->child[charToindex(chars[i])] = createNewNode(chars[i]); ??} ??ptr = ptr->child[charToindex(chars[i])]; } ??ptr->type = COMPLETED; } |
3、 Trie樹的高級實現(xiàn)
可以采用雙數(shù)組（Double-Array）實現(xiàn)。利用雙數(shù)組可以大大減小內(nèi)存使用量，具體實現(xiàn)細節(jié)見參考資料（5）（6）。
4、 Trie樹的應用
Trie是一種非常簡單高效的數(shù)據(jù)結(jié)構，但有大量的應用實例。
（1） 字符串檢索
事先將已知的一些字符串（字典）的有關信息保存到trie樹里，查找另外一些未知字符串是否出現(xiàn)過或者出現(xiàn)頻率。
舉例：
@? 給出N 個單詞組成的熟詞表，以及一篇全用小寫英文書寫的文章，請你按最早出現(xiàn)的順序?qū)懗鏊胁辉谑煸~表中的生詞。
@? 給出一個詞典，其中的單詞為不良單詞。單詞均為小寫字母。再給出一段文本，文本的每一行也由小寫字母構成。判斷文本中是否含有任何不良單詞。例如，若rob是不良單詞，那么文本problem含有不良單詞。
（2）字符串最長公共前綴
Trie樹利用多個字符串的公共前綴來節(jié)省存儲空間，反之，當我們把大量字符串存儲到一棵trie樹上時，我們可以快速得到某些字符串的公共前綴。
舉例：
@ 給出N 個小寫英文字母串，以及Q 個詢問，即詢問某兩個串的最長公共前綴的長度是多少？
解決方案：首先對所有的串建立其對應的字母樹。此時發(fā)現(xiàn)，對于兩個串的最長公共前綴的長度即它們所在結(jié)點的公共祖先個數(shù)，于是，問題就轉(zhuǎn)化為了離線（Offline）的最近公共祖先（Least Common Ancestor，簡稱LCA）問題。
而最近公共祖先問題同樣是一個經(jīng)典問題，可以用下面幾種方法：
1. 利用并查集（Disjoint Set），可以采用采用經(jīng)典的Tarjan 算法；
2. 求出字母樹的歐拉序列（Euler Sequence ）后，就可以轉(zhuǎn)為經(jīng)典的最小值查詢（Range Minimum Query，簡稱RMQ）問題了；
（關于并查集，Tarjan算法，RMQ問題，網(wǎng)上有很多資料。）
（3）排序
Trie樹是一棵多叉樹，只要先序遍歷整棵樹，輸出相應的字符串便是按字典序排序的結(jié)果。
舉例：
@ 給你N 個互不相同的僅由一個單詞構成的英文名，讓你將它們按字典序從小到大排序輸出。
（4） 作為其他數(shù)據(jù)結(jié)構和算法的輔助結(jié)構
如后綴樹，AC自動機等
5、 Trie樹復雜度分析
（1） 插入、查找的時間復雜度均為O(N)，其中N為字符串長度。
（2） 空間復雜度是26^n級別的，非常龐大（可采用雙數(shù)組實現(xiàn)改善）。
6、 總結(jié)
Trie樹是一種非常重要的數(shù)據(jù)結(jié)構，它在信息檢索，字符串匹配等領域有廣泛的應用，同時，它也是很多算法和復雜數(shù)據(jù)結(jié)構的基礎，如后綴樹，AC自動機等，因此，掌握Trie樹這種數(shù)據(jù)結(jié)構，對于一名IT人員，顯得非常基礎且必要！
7、 參考資料
（1）wiki：http://en.wikipedia.org/wiki/Trie
（2） 博文《字典樹的簡介及實現(xiàn)》：
http://hi.baidu.com/luyade1987/blog/item/2667811631106657f2de320a.html
（3） 論文《淺析字母樹在信息學競賽中的應用》
（4）? 論文《Trie圖的構建、活用與改進》
（5）? 博文《An Implementation of Double-Array Trie》：
http://linux.thai.net/~thep/datrie/datrie.html
（6） 論文《An Efficient Implementation of Trie Structures》：
http://www.google.com.hk/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CDEQFjAD&url=http%3A%2F%2Fciteseerx.ist.psu.edu%2Fviewdoc%2Fdownload%3Fdoi%3D10.1.1.14.8665%26rep%3Drep1%26type%3Dpdf&ei=qaehTZiyJ4u3cYuR_O4B&usg=AFQjCNF5icQbRO8_WKRd5lMh-eWFIty_fQ&sig2=xfqSGYHBKqOLXjdONIQNVw
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總結(jié)
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