系列簡介

也許，三百年前的艾薩克·牛頓爵士(Sir Issac Newton, 1643-1727)并沒幻想過，物理學廣泛地應用在今天許多游戲、動畫中。為什么在這些應用中要使用物理學？筆者認為，自我們出生以來，一直感受著物理世界的規律，意識到物體在這世界是如何"正常移動"，例如射球時球為拋物線(自旋的球可能會做成弧線球) 、石子系在一根線的末端會以固定頻率擺動等等。要讓游戲或動畫中的物體有真實感，其移動方式就要符合我們對"正常移動"的預期。

今天的游戲動畫應用了多種物理模擬技術，例如運動學模擬(kinematics simulation)、剛體動力學模擬(rigid body dynamics simulation)、繩子/布料模擬(string/cloth simulation)、柔體動力學模擬(soft body dynamics simulation)、流體動力學模擬(fluid dynamics simulation)等等。另外碰撞偵測(collision detection)是許多模擬系統里所需的。

本系列希望能介紹一些這方面最基礎的知識，繼續使用JavaScript做例子，以即時互動方式體驗。

本文簡介

作為系列第一篇，本文介紹最簡單的運動學模擬，只有兩條非常簡單的公式。運動學模擬可以用來模擬很多物體運動(例如馬里奧的跳躍、炮彈等)，本文將會配合粒子系統做出一些視覺特效(粒子系統其實也可以用來做游戲的玩法，而不單是視覺特效)。

運動學模擬

運動學(kinematics)研究物體的移動，和動力學(dynamics)不同之處，在于運動學不考慮物體的質量(mass)/轉動慣量(moment of inertia)，以及不考慮加之于物體的力(force )和力矩(torque)。

我們先回憶牛頓第一運動定律:

當物體不受外力作用，或所受合力為零時，原先靜止者恒靜止，原先運動者恒沿著直線作等速度運動。該定律又稱為「慣性定律」。

此定律指出，每個物體除了其位置(position)外，還有一個線性速度(linear velocity)的狀態。然而，只模擬不受力影響的物體并不有趣。撇開力的概念，我們可以用線性加速度(linear acceleration)去影響物體的運動。例如，要計算一個自由落體在任意時間t的y軸座標，可以使用以下的分析解(analytical solution):

當中，和分別是t=0時的y軸起始座標和速度，而g則是重力加速度(gravitational acceleration)。

這分析解雖然簡單，但是有一些缺點，例如g是常數，在模擬過程中不能改變；另外，當物體遇到障礙物，產生碰撞時，這公式也很難處理這種不連續性(discontinuity) 。

在計算機模擬中，通常需要計算連續的物體狀態。用游戲的用語，就是計算第一幀的狀態、第二幀的狀態等等。設物體在任意時間t的狀態：位置矢量為、速度矢量為、加速度矢量為。我們希望從時間的狀態，計算下一個模擬時間的狀態。最簡單的方法，是采用歐拉方法(Euler method)作數值積分(numerical integration):

歐拉方法非常簡單，但有準確度和穩定性問題，本文會先忽略這些問題。本文的例子采用二維空間，我們先實現一個JavaScript二維矢量類:

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// Vector2.js Vector2 = function(x, y) { this.x = x; this.y = y; }; Vector2.prototype = { ????copy : function() { return?new?Vector2(this.x, this.y); }, ????length : function() { return?Math.sqrt(this.x * this.x + this.y * this.y); }, ????sqrLength : function() { return?this.x * this.x + this.y * this.y; }, ????normalize : function() { var?inv = 1/this.length(); return?new?Vector2(this.x * inv, this.y * inv); }, ????negate : function() { return?new?Vector2(-this.x, -this.y); }, ????add : function(v) { return?new?Vector2(this.x + v.x, this.y + v.y); }, ????subtract : function(v) { return?new?Vector2(this.x - v.x, this.y - v.y); }, ????multiply : function(f) { return?new?Vector2(this.x * f, this.y * f); }, ????divide : function(f) { var?invf = 1/f; return?new?Vector2(this.x * invf, this.y * invf); }, ????dot : function(v) { return?this.x * v.x + this.y * v.y; } }; Vector2.zero = new?Vector2(0, 0);

然后，就可以用HTML5 Canvas去描繪模擬的過程:

Run ? Stop ? Clear ?

?

修改代碼試試看 改變起始位置 改變起始速度(包括方向) 改變加速度

這程序的核心就是step()函數頭兩行代碼。很簡單吧？

粒子系統

粒子系統(particle system)是圖形里常用的特效。粒子系統可應用運動學模擬來做到很多不同的效果。粒子系統在游戲和動畫中，常常會用來做雨點、火花、煙、爆炸等等不同的視覺效果。有時候，也會做出一些游戲性相關的功能，例如敵人被打敗后會發出一些閃光，主角可以把它們吸收。

粒子的定義

粒子系統模擬大量的粒子，并通常用某些方法把粒子渲染。粒子通常有以下特性:

粒子是獨立的，粒子之間互不影響(不碰撞、沒有力)

粒子有生命周期，生命結束后會消失

粒子可以理解為空間的一個點，有時候也可以設定半徑作為球體和環境碰撞

粒子帶有運動狀態，也有其他外觀狀態(例如顏色、影像等)

粒子可以只有線性運動，而不考慮旋轉運動(也有例外)

以下是本文例子里實現的粒子類:

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// Particle.jsParticle = function(position, velocity, life, color, size) {????this.position = position;????this.velocity = velocity;????this.acceleration = Vector2.zero;????this.age = 0;????this.life = life;????this.color = color;????this.size = size;};

游戲循環

粒子系統通常可分為三個周期:

發射粒子

模擬粒子(粒子老化、碰撞、運動學模擬等等)

渲染粒子

在游戲循環(game loop)中，需要對每個粒子系統執行以上的三個步驟。

生與死

在本文的例子里，用一個JavaScript數組particles儲存所有活的粒子。產生一個粒子只是把它加到數組末端。代碼片段如下:

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//ParticleSystem.jsfunction?ParticleSystem() {????// Private fields????var?that = this;????var?particles = new?Array();????// Public fields????this.gravity = new?Vector2(0, 100);????this.effectors = new?Array();????// Public methods?????????????this.emit = function(particle) {????????particles.push(particle);????};????// ...}

粒子在初始化時，年齡(age)設為零，生命(life)則是固定的。年齡和生命的單位都是秒。每個模擬步，都會把粒子老化，即是把年齡增加，年齡超過生命，就會死亡。代碼片段如下:

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function?ParticleSystem() {????// ... ????this.simulate = function(dt) {????????aging(dt);????????applyGravity();????????applyEffectors();????????kinematics(dt);????};?????????// ...????// Private methods?????????function?aging(dt) {????????for?(var?i = 0; i < particles.length; ) {????????????var?p = particles[i];????????????p.age += dt;????????????if?(p.age >= p.life)????????????????kill(i);????????????else????????????????i++;????????}????}????function?kill(index) {????????if?(particles.length > 1)????????????particles[index] = particles[particles.length - 1];????????particles.pop();????}????// ...}

在函數kill()里，用了一個技巧。因為粒子在數組里的次序并不重要，要刪除中間一個粒子，只需要復制最末的粒子到那個元素，并用pop()移除最末的粒子就可以。這通常比直接刪除數組中間的元素快(在C++中使用數組或std::vector亦是)。

運動學模擬

把本文最重要的兩句運動學模擬代碼套用至所有粒子就可以。另外，每次模擬會先把引力加速度寫入粒子的加速度。這樣做是為了將來可以每次改變加速度(續篇會談這方面)。

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function?ParticleSystem() {????// ...????function?applyGravity() {????????for?(var?i in?particles)????????????particles[i].acceleration = that.gravity;????}????function?kinematics(dt) {????????for?(var?i in?particles) {????????????var?p = particles[i];????????????p.position = p.position.add(p.velocity.multiply(dt));????????????p.velocity = p.velocity.add(p.acceleration.multiply(dt));????????}????}????// ...}

渲染

粒子可以用很多不同方式渲染，例如用圓形、線段(當前位置和之前位置)、影像、精靈等等。本文采用圓形，并按年齡生命比來控制圓形的透明度，代碼片段如下:

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function?ParticleSystem() {????// ...????this.render = function(ctx) {????????for?(var?i in?particles) {????????????var?p = particles[i];????????????var?alpha = 1 - p.age / p.life;????????????ctx.fillStyle = "rgba("????????????????+ Math.floor(p.color.r * 255) + ","????????????????+ Math.floor(p.color.g * 255) + ","????????????????+ Math.floor(p.color.b * 255) + ","????????????????+ alpha.toFixed(2) + ")";????????????ctx.beginPath();????????????ctx.arc(p.position.x, p.position.y, p.size, 0, Math.PI * 2, true);????????????ctx.closePath();????????????ctx.fill();????????}????}????// ...}

基本粒子系統完成

以下的例子里，每幀會發射一個粒子，其位置在畫布中間(200,200)，發射方向是360度，速率為100，生命為1秒，紅色、半徑為5象素。

Run ? Stop ?

?

修改代碼試試看 改變發射位置 向上發射，發射范圍在90度內 改變生命 改變半徑 每幀發射5個粒子

簡單碰撞

為了說明用數值積分相對于分析解的優點，本文在粒子系統上加簡單的碰撞。我們想加入一個需求，當粒子碰到長方形室(可設為整個Canvas大小)的內壁，就會碰撞反彈，碰撞是完全彈性的(perfectly elastic collision)。

在程序設計上，我把這功能用回調方式進行。 ParticleSystem類有一個effectors數組，在進行運動學模擬之前，先執行每個effectors對象的apply()函數:

而長方形室就這樣實現:

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// ChamberBox.js function?ChamberBox(x1, y1, x2, y2) { ????this.apply = function(particle) { ????????if?(particle.position.x - particle.size < x1 || particle.position.x + particle.size > x2) ????????????particle.velocity.x = -particle.velocity.x; ????????if?(particle.position.y - particle.size < y1 || particle.position.y + particle.size > y2) ????????????particle.velocity.y = -particle.velocity.y; ????}; }

這其實就是當偵測到粒子超出內壁的范圍，就反轉該方向的速度分量。

此外，這例子的主循環不再每次把整個Canvas清空，而是每幀畫一個半透明的黑色長方形，就可以模擬動態模糊(motion blur)的效果。粒子的顏色也是隨機從兩個顏色中取樣。

Run ? Stop ?

互動發射

最后一個例子加入互動功能，在鼠標位置發射粒子，粒子方向是按鼠標移動速度再加上一點噪音(noise)。粒子的大小和生命都加入了隨機性。

Run ? Stop ?

總結

本文介紹了最簡單的運動學模擬，使用歐拉方法作數值積分，并以此法去實現一個有簡單碰撞的粒子系統。本文的精華其實只有兩條簡單公式(只有兩個加數和兩個乘數)，希望讓讀者明白，其實物理模擬可以很簡單。雖然本文的例子是在二維空間，但這例子能擴展至三維空間，只須把Vector2換成Vector3。本文完整源代碼可下載。

續篇會談及在此基礎上加入其他物理現象，有機會再加入其他物理模擬課題。希望各位支持，并給本人更多意見。

from：?http://www.cnblogs.com/miloyip/archive/2010/06/14/Kinematics_ParticleSystem.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的用JavaScript玩转游戏物理(一)运动学模拟与粒子系统的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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