（I）直線篇

1 直線是如何表示的？
對于平面中的一條直線，在笛卡爾坐標系中，常見的有點斜式，兩點式兩種表示方法。然而在hough變換中，考慮的是另外一種表示方式：使用（r,theta）來表示一條直線。其中r為該直線到原點的距離，theta為該直線的垂線與x軸的夾角。如下圖所示。

2 如果坐標系中有多個點，又怎樣識別出哪些點在一條直線上呢？
使用hough變換來檢測直線的思想就是：為每一個點假設n個方向的直線，通常n=180，此時檢測的直線的角度精度為1°，分別計算這n條直線的（r,theta）坐標，得到n個坐標點。如果要判斷的點共有N個，最終得到的（r,theta）坐標有N*n個。有關這N*n個（r,theta）坐標，其中theta是離散的角度，共有180個取值。
最重要的地方來了，如果多個點在一條直線上，那么必有這多個點在theta=某個值theta_i時，這多個點的r近似相等于r_i。也就是說這多個點都在直線（r_i,theta_i）上。
3 下面拿個例子說明：? 如果空間中有3個點，如何判斷這三個點在不在一個直線上，如果在，這條直線是的位置為？ ?這個例子中，對于每個點均求過該點的6條直線的（r,theta）坐標，共求了3*6個（r,theta）坐標。可以發現在theta=60時，三個點的r都近似為80.7，由此可判定這三個點都在直線（80.7，60）上。
通過 r0theta 坐標系可以更直觀表示這種關系，如下圖：圖中三個點的（r,theta）曲線匯集在一起，該交點就是同時經過這三個點的直線。?

在實際的直線檢測情況中，如果超過一定數目的點擁有相同的（r,theta）坐標，那么就可以判定此處有一條直線。在r0theta 坐標系圖中，明顯的交匯點就標示一條檢測出的直線。
如下圖，可以判定出平面上的點共構成了兩條直線，即檢測出兩條直線。

4 代碼： 在matlab中提供了hough變換的代碼，有hough，houghlines，houghpeaks，具體的使用可以在help中查到。
（II）圓篇

繼使用hough變換檢測出直線之后，順著坐標變換的思路，提出了一種檢測圓的方法。
1 如何表示一個圓？
與使用（r,theta）來表示一條直線相似，使用（a,b,r）來確定一個圓心為（a,b）半徑為 r? 的圓。
2 如何表示過某個點的所有圓？
某個圓過點（x1,y1），則有：(x1-a1)^2 + (y1-b1)^2 = r1^2 。
那么過點（x1,y1）的所有圓可以表示為（a1(i),b1(i),r1(i)），其中r1∈（0，無窮），每一個 i 值都對應一個不同的圓，（a1(i),b1(i),r1(i)）表示了無窮多個過點（x1,y1）的圓。
3 如何確定多個點在同一個圓上？
如(2)中說明，過點（x1,y1）的所有圓可以表示為（a1(i),b1(i),r1(i)），過點（x2,y2）的所有圓可以表示為（a2(i),b2(i),r2(i)），過點（x3,y3）的所有圓可以表示為（a3(i),b3(i),r3(i)），如果這三個點在同一個圓上，那么存在一個值（a0,b0,r0），使得 a0 = a1(k)=a2(k)=a3(k) 且b0 = b1(k)=b2(k)=b3(k) 且r0 =? r1(k)=r2(k)=r3(k)，即這三個點同時在圓（a0,b0,r0)上。
從下圖可以形象的看出：

首先，分析過點（x1,y1）的所有圓（a1(i),b1(i),r1(i)），當確定r1(i)時 ，（a1(i),b1(i)）的軌跡是一個以（x1,y1,r1(i)）為中心半徑為r1(i)的圓。那么，所有圓（a1(i),b1(i),r1(i)）的組成了一個以（x1,y1,0）為頂點，錐角為90度的圓錐面。
三個圓錐面的交點A 既是同時過這三個點的圓。
4 怎樣用代碼實現檢測圓的過程？
?上面的分析雖然很簡單，但是用代碼實現起來就麻煩了，首先過每一個點的（a(i),b(i),r(i)）都有無窮多個，若是要檢測的點很多，要兩兩比較所有的（a,b,r）值是否相等實在是一個巨大的運算量。

總結

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