图像的几何不变矩
矩特征主要表征了圖像區(qū)域的幾何特征,又稱為幾何矩， 由于其具有旋轉(zhuǎn)、平移、尺度等特性的不變特征，所以又稱其為不變矩。在圖像處理中，幾何不變矩可以作為一個(gè)重要的特征來(lái)表示物體，可以據(jù)此特征來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行分類等操作。如果想詳細(xì)了解不變矩的概念、公式等請(qǐng)參考下面的論文：
不變矩方法研究
一種實(shí)用的不變矩計(jì)算方法
?
http://download.csdn.net/source/1943495
1.???? HU矩
幾何矩是由Hu(Visual pattern recognition by moment invariants)在1962年提出的，圖像f(x，y)的(p+q)階幾何矩定義為
??????? Mpq =∫∫(x^p)*(y^q)f(x，y)dxdy(p，q = 0，1，……∞）
??????? 矩在統(tǒng)計(jì)學(xué)中被用來(lái)反映隨機(jī)變量的分布情況，推廣到力學(xué)中，它被用作刻畫空間物體的質(zhì)量分布。同樣的道理，如果我們將圖像的灰度值看作是一個(gè)二維或三維的密度分布函數(shù)，那么矩方法即可用于圖像分析領(lǐng)域并用作圖像特征的提取。最常用的，物體的零階矩表示了圖像的“質(zhì)量”：
?????????????????? Moo= ∫∫f(x，y )dxdy
??????? 一階矩(M01，M10)用于確定圖像質(zhì)心( Xc，Yc)：
????????????? Xc = M10/M00;Yc = M01/M00;
???????? 若將坐標(biāo)原點(diǎn)移至 Xc和 Yc處，就得到了對(duì)于圖像位移不變的中心矩。如
??????????? Upq =∫∫[(x-Xc)^p]*[(y-Yc)^q]f(x，y)dxdy。
? ? ? ? Hu在文中提出了7個(gè)幾何矩的不變量，這些不變量滿足于圖像平移、伸縮和旋轉(zhuǎn)不變。如果定義
???????? Zpq=Upq/(U20 + U02)^(p+q+2)，
????? Hu 的7種矩為：
????? H1=Z20+Z02;H1=(Z20+Z02)^2+4Z11^2;......
矩是描述圖像特征的算子，它在模式識(shí)別與圖像分析領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用．迄今為止，常見的矩描述子可以分為以下幾種：幾何矩、正交矩、復(fù)數(shù)矩和旋轉(zhuǎn)矩．其中幾何矩提出的時(shí)間最早且形式簡(jiǎn)單，對(duì)它的研究最為充分。幾何矩對(duì)簡(jiǎn)單圖像有一定的描述能力，他雖然在區(qū)分度上不如其他三種矩，但與其他幾種算子比較起來(lái)，他極其的簡(jiǎn)單，一般只需用一個(gè)數(shù)字就可表達(dá)。所以，一般我們是用來(lái)做大粒度的區(qū)分，用來(lái)過(guò)濾顯然不相關(guān)的文檔。
比如在圖形庫(kù)中，可能有100萬(wàn)幅圖，也許只有200幅圖是我們想要的。使用一維的幾何矩的話，就可以對(duì)幾何矩進(jìn)行排序，建立索引，然后選出與目標(biāo)圖的幾何矩最近的2000幅圖作比較就好了。而對(duì)于其他的矩來(lái)說(shuō)，由于一般是多維的關(guān)系，一般不好排序，只能順序查找，自然速度有巨大的差別.所以。雖然幾何矩不太能選出最像的，但可以快速排除不像的，提高搜索效率。
幾種簡(jiǎn)單的幾何矩：
令平面上點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),重心為C(x!,y!),
二階行距：rowMoment = [∑（x- x!）*（x- x!）]/A
二階列距：colMoment = [∑（y- y!）*（y- y!）]/A
A為點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
由以上兩個(gè)信息可以算出圖形的圓度：circleDisgree = rowMoment /colMoment .如果圖形的circleDisgree 越小于1，則它越趨向于長(zhǎng)軸為y方向的橢圓。如果圖形的circleDisgree 越大于1，則它越趨向于長(zhǎng)軸為x方向的橢圓.如果圖形的circleDisgree 越接近于1，則它越趨向于圓。
所以我們可以使用圓度這種幾何矩，對(duì)其進(jìn)行索引，實(shí)現(xiàn)快速過(guò)濾。
//代碼實(shí)例
double* Getsquare(int **Array1,int Width,int Height//Array1圖像灰度矩陣
{
? int x,y;
? double pSum,dx,dy;
? int xmax,xmin,ymax,ymin,xSum,ySum,PointSum;
? double dd,n1,n2,xAve,yAve;
? pSum=Height*Width;
? xSum=0;ySum=0;PointSum=0;
? xmin=10000;ymin=10000;xmax=-1;ymax=-1;
? for (y=0 ;y<Height; y++)
? {
??? for (x=0; x<Width; x++)
??? {
????? if (Array1[x][y]==255)
????? {
?????? continue;
????? }
????? xSum=xSum+x;ySum=ySum+y;++PointSum;
????? if (x<xmin)
?????? {
????????? xmin=x;
?????? }
????? if (x>xmax)
????? {
???????? xmax=x;
????? }
??? }
??? if (y<ymin)
?
??? {
?????? ymin=y;
??? }
??? if (y>ymax)
??? {
????? ymax=y;
??? }
? }
if (pSum==0)
{
?goto Loop;
}
xAve=xSum/pSum;
yAve=ySum/pSum;
///上面為計(jì)算x,y平均值
for (x=1; x<16; x++)
{
?SqureNumber[x]=0;
}
// 11 20 02 21+ 21- 12+ 12- 30+ 30- 03+ 02-
for (y=0; y<Height; y++)
{
??? for (x=0; x<Width; x++)
?
??? {
????? if (Array1[x][y]==255)
????? {
?????? continue;
????? }
????? dx=x-xAve;dy=y-yAve;
????? SqureNumber[1]=SqureNumber[1]+dx*dx;????? // 計(jì)算 u(11) 11
????? SqureNumber[2]=SqureNumber[2]+dx*dx;????? // 計(jì)算 u(20) 20
????? SqureNumber[3]=SqureNumber[3]+dy*dy;????? // 計(jì)算 u(02) 02
????? if (dy>0)
????? {
??????? SqureNumber[4]=SqureNumber[4]+dx*dx*dy; // 計(jì)算 u(21)+ 21+
????? }
????? else
????? {
??????? SqureNumber[5]=SqureNumber[5]+dx*dx*dy; // 計(jì)算 u(21)- 21-
????? }
????? if( dx>0 )
????? {
??????? SqureNumber[6]=SqureNumber[6]+dx*dy*dy; // 計(jì)算 u(12)+ 12+
????? }
????? else
????? {
??????? SqureNumber[7]=SqureNumber[7]+dx*dy*dy; // 計(jì)算 u(12}- 12-
????? }
????? if (dx>0 )
????? {
??????? SqureNumber[8]=SqureNumber[8]+dx*dx*dx ;// 計(jì)算 u(30)+ 30+
????? }
????? else
????? {
??????? SqureNumber[9]=SqureNumber[9]+dx*dx*dx; // 計(jì)算 u(30)- 30-
????? }
????? if (dy>0)
????? {
??????? SqureNumber[10]=SqureNumber[10]+dy*dy*dy ;// 計(jì)算 u(03)+ 03+
????? }
????? else
????? {
??????? SqureNumber[11]=SqureNumber[11]+dy*dy*dy;// 計(jì)算 u(03)- 03-
????? }
?
??? }//end for x
?
}// end for y;
for (x=1; x<12; x++)?
{?
?SqureNumber[x]=SqureNumber[x]/pSum;
}
///計(jì)算圖像的各階矩
for (x=12; x<21; x++)
{
?SqureNumber[x]=0;
}
SqureNumber[12]=((SqureNumber[2]-SqureNumber[3])/(SqureNumber[2]+SqureNumber[3]))/2; //長(zhǎng)寬比特征
dd=sqrt((SqureNumber[2]-SqureNumber[3])*(SqureNumber[2]-SqureNumber[3])+4*SqureNumber[1]*SqureNumber[1]);
?
dd=dd+(SqureNumber[2]-SqureNumber[3]);
?
SqureNumber[16]=2*atan(dd/(2*SqureNumber[1]))/M_PI; ///字型傾斜度
dd=sqrt((SqureNumber[2]-SqureNumber[3])*(SqureNumber[2]-SqureNumber[3])+4*SqureNumber[1]*SqureNumber[1]);
?
n1=((SqureNumber[2]+SqureNumber[3])+dd)/2;
?
n2=((SqureNumber[2]+SqureNumber[3])-dd)/2;
?
SqureNumber[14]=(n1-n2)/(n1+n2);?????????????????? //拉長(zhǎng)度
n1=sqrt((ymax-ymin)*(xmax-xmin));
?
dd=sqrt((SqureNumber[2]+SqureNumber[3])/PointSum);
?
SqureNumber[15]=dd/n1;???????????????????????????? //伸展度
dd=(SqureNumber[8]-SqureNumber[9])/(SqureNumber[8]+SqureNumber[9]);
SqureNumber[16]=(dd+1)/2;????????????????????????? //水平偏移度
dd=(SqureNumber[10]-SqureNumber[11])/(SqureNumber[10]+SqureNumber[11]);
SqureNumber[17]=(dd+1)/2;????????????????????????? //垂直偏移度
dd=(SqureNumber[4]-SqureNumber[5])/(SqureNumber[4]+SqureNumber[5]);
SqureNumber[18]=(dd+1)/2;????????????????????????? //水平伸展度度
dd=(SqureNumber[6]-SqureNumber[7])/(SqureNumber[6]+SqureNumber[7]);
SqureNumber[19]=(dd+1)/2;????????????????????????? //垂直伸展度
Loop:;
?
}
?
2.Zernike矩
?
在模式識(shí)別中,一個(gè)重要的問(wèn)題是對(duì)目標(biāo)的方向性變化也能進(jìn)行識(shí)別。Zernike 矩是一組正交矩,具有旋轉(zhuǎn)不變性的特性,即旋轉(zhuǎn)目標(biāo)并不改變其模值。。由于Zernike 矩可以構(gòu)造任意高階矩,所以Zernike 矩的識(shí)別效果優(yōu)于其他方法.
?
Zernike 提出了一組多項(xiàng)式{ V nm ( x , y) } 。這組多項(xiàng)式在單位圓{ x2 + y2 ≤1} 內(nèi)是正交的,具有如下形式: V nm ( x , y) = V nm (ρ,θ) = Rnm (ρ) exp ( jmθ) ,并且滿足?? ∫∫ x^2+y^2 <= 1? [( V nm ( x , y) 的共軛]* V pq ( x , y) d x d y.????? = [pi/(n+1)]*δnpδmq .
?
if(a==b)? δab = 1 else? δab = 0，n 表示正整數(shù)或是0；m是正整數(shù)或是負(fù)整數(shù)它表示滿足m的絕對(duì)值<=n 而且n-m的絕對(duì)值是偶數(shù)這兩個(gè)條件；ρ 表示原點(diǎn)到象素（x，y）的向量的距離；θ 表示向量ρ 跟x 軸之間的夾角（逆時(shí)針?lè)较?#xff09;.
?
對(duì)于一幅數(shù)字圖象,積分用求和代替,即A nm =∑x∑y f(x,y) *[( V nm (ρ,θ) 的共軛],x^2+y^2 <=1
?
實(shí)際計(jì)算一幅給定圖象的Zernike 矩時(shí),必須將圖象的重心移到坐標(biāo)圓點(diǎn),將圖象象素點(diǎn)映射到單位圓內(nèi)。由以上可知,使[ V nm (ρ,θ) 的共軛]可提取圖象的特征,低頻特性由n 值小的[( V nm (ρ,θ) 的共軛]來(lái)提取,高頻特性由n 值大的來(lái)提取。Zernike 矩可以任意構(gòu)造高價(jià)矩, 而高階矩包含更多的圖象信息, 所以Zernike 矩識(shí)別效果更好。,Zernike 矩僅僅具有相位的移動(dòng)。
?
它的模值保持不變。所以可以將| A nm | 作為目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)不變性特征。因?yàn)閨 A nm | =| A n , - m | ,所以只需計(jì)算m ≥0 的情況。
?
不變矩的應(yīng)用過(guò)程一般包括：1）選擇合適的不變矩類型；2）選擇分類器（如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、最短距離等）；3）如果是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類器，則需要計(jì)算學(xué)習(xí)樣例的不變矩去訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；4）計(jì)算待識(shí)別對(duì)象的不變矩，輸入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就可得到待識(shí)別對(duì)象的類型，或者計(jì)算待識(shí)別對(duì)象不變矩與類別對(duì)象不變矩之間的距離，選擇最短距離的類別作為待識(shí)別對(duì)象的類別。
可以看出，不變矩作用主要目的是描述事物（圖像）的特征。人眼識(shí)別圖像的特征往往又表現(xiàn)為“求和”的形式，因此不變矩是對(duì)圖像元素進(jìn)行了積分操作。
不變矩能夠描述圖像整體特征就是因?yàn)樗哂衅揭撇蛔冃巍⒈壤蛔冃院托D(zhuǎn)不變性等性質(zhì)。
然而，另一方面圖像的各階不變矩究竟代表的什么特征很難進(jìn)行直觀的物理解釋。
總結(jié)
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