插值：是給出一些點，求出這些點的表達式，表達式一定經過這些點，然后利用表達式就可以得到某點的值。

插值應用場景：在數據點稀少的時候，也可以用來插值，使得數據點密集。

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擬合：是給出一些點，求出最接近這些點的曲線表達式，表達式不要求穿過這些點，只要求最貼合這些點，這就是擬合。

擬合應用場景：用來使得這些點的曲線更平滑。

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注意多項式插值與多項式擬合的區別：

• 多項式插值的話不需要用到最小二乘法，比如三次多項式插值，你只需要四個點，四個方程，組成由4個多項式系數作為未知數的四元一次方程組，就可以求出三次多項式的四個系數；
• 多項式擬合，例如三次多項式擬合，可能會給你幾十個幾百個上千個點，然后使用最小二乘法，求出最貼合這些點的曲線來擬合這些點。

看了上面的區別，應該很明了了，如果使用多項式插值，每增加一個點，多項式次數就會增加，就需要重新計算，而且次數也并非越大越好，會有龍格現象，在實際工程中，這顯然不合理，所以多項式插值一般只是理論中一帶而過。實際工程中我們通常使用多項式擬合。當數據點本身很多的話，多項式插值則次數很高，龍格現象會造成不準確插值。當然這一點可以通過分段低次插值克服，而不會直接用到高次數的多項式插值。

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下面只介紹擬合中最常用的最小二乘法，理論部分直接參考知乎大佬的博客： 最小二乘法

1.最小二乘法 理論部分

知乎大佬的博客中講到了最小二乘法推導，以及選擇算術平均數、一次多項式曲線、二次多項式曲線等進行擬合的效果。

• 如果使用算術平均數來擬合，得到的擬合曲線的所有點的y值都相等，即平行于x軸的直線(斜率為0)；
• 如果使用一次多項式來擬合，得到的擬合曲線的所有點的y值不相等，即一條斜率不為0的直線；
• 如果使用二次多項式來擬合，得到的擬合曲線是一個二次函數的曲線；
• 如果使用n次多項式來擬合，得到的擬合曲線是一個n次函數的曲線；

也就是說，給你一系列可能是曲線的點，你可以選擇不同的函數來擬合這些點，得到擬合曲線函數。

注意看，上面兩個偏導=0的方程組求解，是把所有樣本代入進去進行求和：并不是一個樣本代入一個方程，而是所有樣本一起代入。

上面就是使用一次多項式曲線，注意，不是二次多項式，因為最小二乘法就是求距離的平方和最小值，所以接了個平方。

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只需要記住，最小二乘法是用來求多項式的系數，所以求導是分別求平方和對各個系數的偏導，令偏導為0，就得到了方程組，把各個點的(xi,yi)一起代入方程組進行求解，就得到了多項式的系數。不過這個方程組可以使用矩陣的形式A*X=B來求解,利用opencv中的cv::solve函數可以求解。cv::solve函數可參考這篇博客：https://blog.csdn.net/nienelong3319/article/details/80855077

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下面的截圖是推導：
其中公式里面的i=0有誤，都改為i=1,因為點是從(x1,y1)開始的。W3改為Wm

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代碼部分

2.1 多項式擬合曲線C++代碼：

// 用最小二乘法根據點集擬合多項式系數 // order是設置的多項式次數 // is_x_axis是根據x軸的方向。因為像素坐標系的x,y和車身坐標系的x，y方向不一樣 // coeff是求出的系數向量(order+1行，1列） bool PolyCurveFit(const std::vector<Point2D<float>> &point_set, const int &order,const bool &is_x_axis, cv::Mat *coeff) {if (coeff == nullptr) {SERROR << "The pointer of coefficient matrix is null!";return false;}const int n = static_cast<int>(point_set.size());if (n <= order) {SERROR << "The number of points should be larger than the order.""The number of points = "<< n;return false;}cv::Mat A = cv::Mat::zeros(order + 1, order + 1, CV_64FC1);cv::Mat B = cv::Mat::zeros(order + 1, 1, CV_64FC1);// Fill matrix Afor (int i = 0; i < order + 1; ++i) {for (int j = 0; j < order + 1; ++j) {for (int k = 0; k < n;++k) { // 遍歷點，把每個點的x或y坐標都進行求i+j次方// 矩陣A的每個元素都是[x的冪]，或[y的冪],最大冪為2*orderA.at<double>(i, j) +=std::pow(is_x_axis ? static_cast<double>(point_set.at(k).x): static_cast<double>(point_set.at(k).y),i + j);}}}// Fill matrix Bfor (int i = 0; i < order + 1; ++i) {// 遍歷點，把每個點都進行(x坐標求i次方)*y 或 (y坐標求i次方)*xfor (int k = 0; k < n; ++k) {// 矩陣B的每個元素都是[x的冪*y]，或[y的冪*x]，最大冪為orderB.at<double>(i, 0) +=std::pow(is_x_axis ? static_cast<double>(point_set.at(k).x): static_cast<double>(point_set.at(k).y),i) *(is_x_axis ? static_cast<double>(point_set.at(k).y): static_cast<double>(point_set.at(k).x));}}(*coeff) = cv::Mat::zeros(order + 1, 1, CV_64FC1);// 使用最小二乘法,最后優化問題化簡為,求A*X=B, 即 A*coeff=B，// 矩陣方程式有了,求未知系數矩陣X,使用的是LU矩陣分解算法// 這里就是求解order+1元order次方程組，求得就是系數if (!cv::solve(A, B, *coeff, cv::DECOMP_LU)) {SERROR << "Cannot solve polynomial coefficient!";return false;}return true; }

上面代碼是使用opencv的庫函數解出Ax=b中的x,這里的x就是系數coef。
如果是使用Eigen矩陣的話，那么代碼這樣的:

const int N = Order + 1; Eigen::MatrixXd matA(N, N); Eigen::VectorXd matB(N);/* 這里省略給矩陣A和向量B賦值 *///使用LU矩陣分解法求出系數矩陣coef Eigen::VectorXd coef = matA.lu().solve(matB);

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2.2 求出一系列點的多項式之后，給出一個點的x值，就可以根據求出的多項式系數，求出該點的y值：

// 模板參數中的N是N次多項式的最高次數，N次多項式有N+1個多項式系數 // std::array<float, N + 1> poly_coeff是通過上面函數求出的多項式系數，可由Mat中轉存到array中 // 下面函數就是以 y=a+b*x+c*x^2+d*x^3+...的形式計算x值對應的y值 template <typename T, std::size_t N> T GetPolyValue(const std::array<float, N + 1> &poly_coeff, T x) {T value = 0;for (int i = 0; i < N+1; ++i) {value += poly_coeff[i] * std::pow(x, i);}return value; }

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2.3 畫出x從0～100擬合曲線，x采樣間隔為0.3，使用圓圈在圖像上畫出這些點

• (1) 如果擬合的多項式的點(x,y)本來就是像素坐標系的點,可以直接在圖像中畫出來:

for (float x = 0; x < 100; x += 0.3) {float y = GetPolyValue<float, 3>(poly_coeff, x);cv::Point point;point.x = x ;point.y = y;cv::circle(img_, point, 6, cv::Scalar(0, 255, 0)); }

• (2) 如果x，y是車身坐標系的點，那么需要先轉化為像素坐標系的點，然后再到圖像中標出這些點:

for (float x = 0; x < 100; x += 0.3) {float y = GetPolyValue<float, 3>(poly_coeff, x);cv::Point point;//注意，車身坐標系的x，y和像素坐標系的y,x對應。并且像素坐標系原點在左上角，// 即車輛坐標系的x值Xc越大，其對應的像素坐標系Yp值越往上，Yp值就越小// 車輛坐標系的y值Yc向左為正，Yc值越大，其對應的像素坐標系的Xp值越小point.y = ph0 - static_cast<int>x ;point.x = pw0 - static_cast<int>y ;cv::circle(img_, point, 6, cv::Scalar(0, 255, 0)); } 《新程序員》：云原生和全面數字化實踐50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数学和算法】最小二乘法理论(附c++代码)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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