二部圖系列視頻

關(guān)于匈牙利匹配可以聯(lián)系下面兩篇博客更容易理解和補盲：
帶你入門多目標(biāo)跟蹤（三）匈牙利算法&KM算法
趣寫算法系列之–匈牙利算法

14.1 二部圖

廣度優(yōu)先搜索
廣度優(yōu)先，可以使用隊列來操作:

• 依次遍歷節(jié)點，首先遍歷第一個節(jié)點A，判斷節(jié)點A是否遍歷過，如果節(jié)點A沒有遍歷過，就把節(jié)點A添加進隊列。
• 然后取出隊列中的第一個元素A，對于和節(jié)點A連接的某節(jié)點B和節(jié)點C等，把節(jié)點B和c進行標(biāo)記(標(biāo)記就是根據(jù)題目的具體要求進行操作，即你的目的是什么你就干什么），并且如果節(jié)點B和c沒有遍歷過，那么把節(jié)點B和C添加進隊列。
• 然后再取出隊列中的第一個元素，就是節(jié)點B，遍歷到了B節(jié)點，再對和B節(jié)點連接的節(jié)點D進行標(biāo)記，并且判斷D是否遍歷過，沒有遍歷過的話就添加到隊列。
• 然后再取出隊列第一個元素，為節(jié)點C。以此類推

14.2 無權(quán)二部圖的最大匹配，最大流問題，其中有個網(wǎng)絡(luò)最大流方法，貪心算法找最大匹配可能會失敗。
貪心算法，每次局部最優(yōu)，得到全局最優(yōu)。
例如，每次只能從錢箱子里面取一張鈔票，那肯定是每次都拿里面面值最大的一張，這樣就會得到最優(yōu)結(jié)果。
無權(quán)二部圖的每條邊權(quán)重都是一樣的，為1。無權(quán)并不是說權(quán)重為0。

14.3有權(quán)二部圖的最大匹配和最小匹配，把圖邊制作一個鄰接矩陣。我們的目標(biāo)是尋找權(quán)重之和最大的匹配。最大匹配限制條件:每一個節(jié)點都只能擁有一條邊。注意，二部圖并不是每個節(jié)點只有一條邊。
以寵物收養(yǎng)為例，有權(quán)二部圖的邊的權(quán)重表示人對寵物的喜好程度，沒有邊表示喜好程度是0，也就是完全不喜歡。
寵物收養(yǎng)機構(gòu)應(yīng)該尋找有權(quán)二部圖中的最大匹配。最大匹配，意味著讓人領(lǐng)養(yǎng)最喜歡的寵物，獲得最大的幸福感。

對于有權(quán)圖，最大匹配和最小匹配是可以相互轉(zhuǎn)化的。只需要把所有權(quán)重乘以$?1$全都變?yōu)樨?fù)數(shù)即可。即，本來求最大值，最大值乘以 $?1$ 就變成了最小值了。

最大匹配是最優(yōu)匹配，即所有匹配權(quán)重之和(函數(shù)值）最大。
最小匹配也是最優(yōu)匹配，即所有匹配權(quán)重之和(函數(shù)值）最小。

• 最大匹配可以理解為人對物體的喜好程度，每個人對分配給他的物體的喜好的和值最大的匹配對，就是最大匹配；
• 最小匹配可以理解為兩種物體的差異，所有物體差異的和值最小，就是最小匹配。

匈牙利算法用來尋找有權(quán)二部圖中的最小匹配。但是匈牙利匹配中有一個限制，就是兩個集合中的節(jié)點數(shù)都一樣為n，即鄰接矩陣必須是一個 $n?n$ 的方陣。匈牙利算法的時間復(fù)雜度是 $n^3$。

問：匈牙利算法的輸入必須要是方陣嗎，也就是左右數(shù)目一樣嗎？

答：匈牙利算法不需要，KM算法必須得是完全匹配（可以補權(quán)值為零的邊得到）。
但是在自動駕駛中，一般直接用匈牙利算法代指KM算法，里面調(diào)用的就是KM算法。
所以，自動駕駛中指代額匈牙利算法，是一個方陣n*n。如果有一條邊權(quán)值為0，就表示二者沒有邊。
所以，如果匈牙利算法+KM算法最終得到的二者匹配的一對，如果邊的權(quán)重為0，就表示不匹配。并不表示強行把二者給匹配起來。

匈牙利算法是解決最小匹配的問題，但是我們實際問題如果是要求最大匹配，應(yīng)該怎么辦呢？我們可以把最大匹配等價轉(zhuǎn)換為最小匹配，即，把權(quán)重全部取反，這樣就把喜愛程度變成厭惡程度了，然后再調(diào)用匈牙利算法即可。
最小匹配的理解就是幸福度最低，我們最開始是$+10$，表示特別喜歡某只寵物，取負(fù)數(shù)就變成了特別不喜歡這只寵物，如果每個人都分配到了最最不喜歡的寵物，那么就是最小匹配。所以最小匹配并不是說被領(lǐng)養(yǎng)的寵物最少，而是最差匹配。最大匹配應(yīng)該理解為最優(yōu)匹配，最小匹配應(yīng)該理解為最差匹配。

不過，不要狹隘的理解最大匹配和最小匹配的匹配結(jié)果是一樣的。因為最大匹配是權(quán)值之和最大的匹配，而最小匹配是權(quán)值之和最小的匹配。兩個集合中，最大匹配和最小匹配肯定不會是同一種匹配結(jié)果。前面介紹的最大匹配和最小匹配的互相轉(zhuǎn)化，最終的匹配結(jié)果是同一種，只不過因為最小化更容易求解，例如匈牙利匹配就是根據(jù)尋找權(quán)重之和的最小值來求解問題的。

【14-4: 匈牙利算法 Hungarian Algorithm-嗶哩嗶哩】

匈牙利算法只需要操作鄰接矩陣

最大匹配并不唯一，可能有多種匹配方式都能達到同樣幸福度。

14.6 穩(wěn)定婚配問題
Gale-shapley解決穩(wěn)定婚配問題。就是$n$個男人分別對$n$個女人進行愛慕程度排序，$n$個女人也分別對$n$個男人進行愛慕程度排序。
每個男性都首先選擇最喜歡的女性，如果女性的愛慕程度的最優(yōu)選擇不是你，你就劃掉該女性，下次匹配不會再考慮她，然后你再選擇你第二愛慕的女性，直到配對成功。并且每次匹配之后，依舊單身的男性先選擇女性，無論女性是否已配對，可以挖墻腳，把已配對的男性變成單身。直到最后所有男人配對成功(此時所有女人也會配對成功)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数学与算法】二部图、匈牙利匹配、稳定婚配的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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