求最小一般用二分，求前最小一般用堆

偶爾看到一個(gè)問題，搜索了一些解法，用來存著

1.X[1..n] 和 Y[1..n]為兩個(gè)數(shù)組，每個(gè)都包含n個(gè)已排好序的數(shù)。給出一個(gè)求數(shù)組X和Y中所有2n個(gè)元素的中位數(shù)的O(lgn）時(shí)間的算法

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參考 ：http://blog.csdn.net/zhanglei8893/article/details/6314002

分析與解答：

?? ?? 若中位數(shù)位于X中，不妨設(shè)為X[k]，即在X中有k個(gè)元素小于等于中位數(shù)，n-k個(gè)元素大于等于中位數(shù)。由于X[k]為合并后的2n個(gè)元素的中位數(shù)，則在Y中有n-k個(gè)元素小于等于中位數(shù)，k個(gè)元素大于等于中位數(shù)，即

?????????????????????????????????????? Y[n-k] ≤? X[K] ≤ Y[n-k+1]

看到時(shí)間復(fù)雜度為O(lgn)，不禁使我們想到二分法，但是和這題有什么關(guān)聯(lián)呢？

二分法每次搜索都能減小一半的范圍，在搜索中位數(shù)的過程也可以的，下面具體論述:

若X[k]不滿足上述等式，分兩種情況

(1) X[k] < Y[n-k]

???? 若中位數(shù)是k' < k，則X[k'] ≤? X[k]] < Y[n-k] 。那么在Y中小于等于X[k']的元素?cái)?shù)目小于n-k，則X[k']不可能為中位數(shù)

???? 由此只需要搜索k' > k的范圍

(2) X[k] > Y[n-k+1]

???? 若中位數(shù)是k' >? k，則X[k'] > X[k] > Y[n-k+1] 。那么在Y中小于等于X[k']的元素?cái)?shù)目大于n-k+1，則X[k']不可能為中位數(shù)

???? 由此只需要搜索k' < k的范圍

根據(jù)上述特點(diǎn)，我們可以采用二分搜索逐步縮小搜索范圍。

整個(gè)算法的過程如下：

TWO-ARRAY-MEDIAN(X, Y) n ← length[X] median ← FIND-MEDIAN(X, Y, n, 1, n) if median = NOT-FOUNDthen median ← FIND-MEDIAN(Y, X, n, 1, n) return medianFIND-MEDIAN(A, B, n, low, high) if low > highthen return NOT-FOUND k ← (low + high)/2 if k=n and A[n] ≤ B[1]then return A[n] elseif k<n and B[n-k]≤A[k]≤B[n-k+1]then return A[k] elseif A[k]<B[n-k]then return FIND-MEDIAN(A, B, n, k+1, high) else return FIND-MEDIAN(A, B, n, low, k-1)

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2.假設(shè)a[m]，?b[n]是兩個(gè)排好序的數(shù)組，并且沒有重復(fù)元素，要找第k小的元素

參考： http://bbs.csdn.net/topics/370014294

里面有一種方法挺好的，O(lgk)

為了方便以下描述下標(biāo)從1開始，

如果m,n>=k時(shí)，若k為偶數(shù)取i=k/2，j=k/2，若k為奇數(shù)，一個(gè)向下去整一個(gè)向上去整。如果兩個(gè)值相同，則第k小的就是此值；如果此時(shí)一大一小，假設(shè)a[i]>b[j]，則i--,j++（0<i,j<n）直到a[i]<=b[j]，則b[j]即為第k小的值。

如果m,n<k，則只要取的兩個(gè)下標(biāo)i+j=k即可，方法相同。

3.兩個(gè)按升序排好的等長數(shù)組A[K],B[K]。A[i]+B[j],其中，0<i<K,0<j<K.（數(shù)組從0開始的）求前K個(gè)小的 A[i]+B[j]，（注意：不是第K個(gè)，是前K個(gè)，輸出結(jié)果沒要求一定是排好序的，但要求空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度盡可能最優(yōu))

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開始考慮最小的肯定為A[0]+B[0],如果第k小的是A[m]+B[n]，當(dāng)i<=m,j<=n時(shí)，A[i]+B[j]必<=A[m]+B[n]，必是在前k個(gè)最小的數(shù)中，則m*n<=k。（后面不會(huì)想了）

參考：http://blog.csdn.net/sunnianzhong/article/details/8932374

如果用最小堆求解思路如下：

首先把a(bǔ)0+b0的結(jié)果放入堆中，此時(shí)堆中只有一個(gè)元素，自然滿足最小堆條件，然后開始出堆的操作，從堆里面取出根節(jié)點(diǎn)（也就是最小的值），

例如是a[i]+b[j]，則需要像最小堆中壓入a[i+1]b[j] 和?a[i]+b[j+1]，當(dāng)然，要保證下標(biāo)不越界，如果下標(biāo)越界了則忽略，另外要保證已經(jīng)壓入過堆中的組合（即使已經(jīng)從堆中被取出了的）不再被壓入堆中。不段進(jìn)行出堆、入堆的操作，重復(fù)K次，就得到了K個(gè)最小的組合值。

堆的最大深度為logK,所以時(shí)間復(fù)雜度為K*logK數(shù)量級(jí)。

空間復(fù)雜度O(K)

開始感覺這個(gè)思路貌似有問題，感覺局部最小值不一定為全局最小值，但是看完楊氏矩陣又想了想，還是對的，每次搜索都是候選最小值，出堆的是全局最小值。

已知一個(gè)2維矩陣，其中的元素每一行從左至右依次增加，每一列從上到下依次增加。即對于矩陣Table有Table[i][j] ≤Table[i][j + 1], Table[i][j] ≤ Table[i + 1][j]，我們也稱這樣的矩陣為楊氏矩陣。

楊氏矩陣參考http://blog.csdn.net/michealmeng555/article/details/2489923

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4.給定k個(gè)數(shù)組，每個(gè)數(shù)組有k個(gè)整數(shù)。每個(gè)數(shù)組中選取一個(gè)整數(shù)，一共k個(gè)整數(shù)，取其和，一共可以得到k^k個(gè)和。給出方法，求得這k^k個(gè)和中，最小的k個(gè)。

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這個(gè)題目最終歸于第三題，對兩個(gè)數(shù)組求和的最小的k個(gè)，求出的k個(gè)值作為一個(gè)數(shù)組再與第三個(gè)數(shù)組求最小的k個(gè)，以此類推。

最后的時(shí)間復(fù)雜度是O(k^2logk)。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的两个排序数组合并第k或前k个最小值问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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