生活随笔
收集整理的這篇文章主要介紹了
【编程之美】24点游戏
小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.
轉(zhuǎn)自：http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7713640
一，概述
? ? ? ? 二十四點(diǎn)是一種益智游戲，它能在游戲中鍛煉人們的心算，它往往要求人們將四個數(shù)字進(jìn)行加減乘除（允許使用括號）求得二十四。然后將四個數(shù)字的計算公式表示出來。
二，中綴表達(dá)式求解
? ? ? ? ?最直接的方法就是采用窮舉法，游戲中可用的運(yùn)算符只有四種，四個數(shù)字每個只能使用一次。
? ? ? ? ?1）不考慮括號情況
? ? ? ? ? ? ? ? 4個數(shù)全排列：4！=24種
? ? ? ? ? ? ? ? 需要三個運(yùn)算符，且運(yùn)算符可以重復(fù)：4*4*4=64
? ? ? ? ? ? ? ? 總計：1536
? ? ? ? ?2）考慮括號（是個難點(diǎn)）
? ? ? ? ? ? ? ? 自己想的加括號：四個數(shù)有五種加括號方式： ?(AB)CD ?、?AB(CD)、?A(BC)D 、?A((BC)D) 、?(AB)(CD)、A(B(CD))
? ? ? ? ? ? ? ? ?錯誤點(diǎn)：這里添加括號的時候，需要把四個數(shù)都看成相乘。需要加兩個括號來列舉比較直觀
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??AB(CD) ?= ??(AB)(CD)
? ? ? ? ? ? ? ? ?改正后：((AB)C)D ?、?(AB)(CD)?、 (A(BC))D 、?A((BC)D) 、A(B(CD))
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? 四個運(yùn)算數(shù)五種不同加括號方式的由來。這是一個經(jīng)典的Catalan數(shù)問題。
? ? ? ? ? ? ? ? 這個經(jīng)典Catalan數(shù)問題在組合數(shù)學(xué)教材上都能找到。原題目是：n 個數(shù)相乘, 不改變它們的位置, 只用括號表示不同的相乘順序，令g(n)表示這種條件下構(gòu)成不同乘積的方法數(shù)，令C(n)表示第n個Catalan數(shù)。則有g(shù)(n)=C(n-1)。前幾個Catalan數(shù)為：C(0)=1，C(1)=1，C(2)=2，C(3)=5，C(4)=14，C(5)=42。所以g(4)=C(3)=5。
? ? ? ? ? ? ? ? 根據(jù)Catalan數(shù)的計算公式，有g(shù)(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)。
? ? ? ? ? ? ? ? Catalan數(shù)的計算公式也同時提供了構(gòu)造答案的方法。對于4個數(shù)，中間有3個位置，可以在任何一個位置一分為二，被分開的兩半各自的加括號方案再拼湊起來就得到一種4個數(shù)的加括號方案：
一個數(shù)時：(A)，一種
兩個數(shù)：g(2)=g(1)g(1)，所以是(A)(B)=(AB)，一種
三個數(shù)：g(3)=g(1)g(2)+g(2)g(1)=(A)(BC)+(AB)(C)，兩種
四個數(shù)：g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)
????????????? ?? =(A)[(B)(CD)+(BC)(D)]+(AB)(CD)+[(A)(BC)+(AB)(C)](D)
????????????? ?? =A(B(CD)) + A((BC)D) + (AB)(CD) + (A(BC))D + ((AB)C)D
? ? ? ? ?共有五種。于是寫代碼枚舉這五種加括號的方式即可。這種方法只是一種能得到正確答案的方法，擴(kuò)展性和效率都極差。而且生成的表達(dá)式中也有冗余括號。
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#include?<iostream>?? #include?<cmath>?? using?namespace?std;?? ?? const?double?Threshold?=?1E-6;?? const?int?CardsNumber?=?4;?? const?int?ResultValue?=?24;?? double?number[CardsNumber];?? string?result[CardsNumber];?? ?? bool?PointsGame(int?n)?? {?? ?????if(n?==?1)?? ?????{?? ??????????//?由于浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算會有精度誤差，所以用一個很小的數(shù)1E-6來做容差值?? ??????????//?本書2.6節(jié)中討論了如何將浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的問題?? ??????????if(fabs(number[0]?-?ResultValue)?<?Threshold)//結(jié)果等于24?? ??????????{?? ???????????????cout?<<?result[0]?<<?endl;//輸出表達(dá)式?? ???????????????return?true;??? ??????????}?? ??????????else?? ??????????{?? ???????????????return?false;?? ??????????}?? ?????}?? ?? ?????for(int?i?=?0;?i?<?n;?i++)//第一個數(shù)(計算時被兩個數(shù)結(jié)果替換)?? ?????{?? ??????????for(int?j?=?i?+?1;?j?<?n;?j++)//第二個數(shù)(計算時候被最后一個數(shù)替換)?? ??????????{?? ???????????????double?a,?b;//存放計算的數(shù)?? ???????????????string?expa,?expb;//存放表達(dá)式中兩個數(shù)?? ?? ???????????????a?=?number[i];?? ???????????????b?=?number[j];?? ???????????????number[j]?=?number[n?-?1];//去除第二個數(shù)?? ?? ???????????????expa?=?result[i];?? ???????????????expb?=?result[j];?? ???????????????result[j]?=?result[n?-?1];//表達(dá)式去除?? ?? ???????????????result[i]?=?'('?+?expa?+?'+'?+?expb?+?')';?? ???????????????number[i]?=?a?+?b;//去除第一個數(shù)?? ???????????????if(PointsGame(n?-?1))?? ????????????????????return?true;?? ?? ???????????????result[i]?=?'('?+?expa?+?'-'?+?expb?+?')';?? ???????????????number[i]?=?a?-?b;?? ???????????????if(PointsGame(n?-?1))?? ????????????????????return?true;?? ?? ???????????????result[i]?=?'('?+?expb?+?'-'?+?expa?+?')';?? ???????????????number[i]?=?b?-?a;?? ???????????????if(PointsGame(n?-?1))?? ????????????????????return?true;?? ?? ???????????????result[i]?=?'('?+?expa?+?'*'?+?expb?+?')';?? ???????????????number[i]?=?a?*?b;?? ???????????????if(PointsGame(n?-?1))?? ????????????????????return?true;?? ?? ???????????????if(b?!=?0)?? ???????????????{?? ????????????????????result[i]?=?'('?+?expa?+?'/'?+?expb?+?')';?? ????????????????????number[i]?=?a?/?b;?? ????????????????????if(PointsGame(n?-?1))?? ?????????????????????????return?true;?? ???????????????}?? ???????????????if(a?!=?0)?? ???????????????{?? ????????????????????result[i]?=?'('?+?expb?+?'/'?+?expa?+?')';?? ????????????????????number[i]?=?b?/?a;?? ????????????????????if(PointsGame(n?-?1))?? ?????????????????????????return?true;?? ???????????????}?? ?? ???????????????number[i]?=?a;//將本次循環(huán)的結(jié)果消除，繼續(xù)測試下一對數(shù)?? ???????????????number[j]?=?b;?? ???????????????result[i]?=?expa;?? ???????????????result[j]?=?expb;?? ??????????}?? ?????}?? ?????return?false;?? }?? ?? int?main()?? {?? ????int?x;?? ????for(int?i?=?0;?i?<?CardsNumber;?i++)?? ????{?? ?????????char?buffer[20];?? ?????????cout?<<?"the?"?<<?i?<<?"th?number:";?? ?????????cin?>>?x;?? ?????????number[i]?=?x;?? ?????????itoa(x,?buffer,?10);?? ?????????result[i]?=?buffer;?? ????}?? ????if(PointsGame(CardsNumber))?? ????{?? ?????????cout?<<?"Success."?<<?endl;?? ????}?? ????else?? ????{?? ?????????cout?<<?"Fail."?<<?endl;?? ????}?? }??
三，分支限界法求解
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#include?<iostream>?? #include?<set>?? #include?<string>?? #include?<cmath>?? using?namespace?std;?? ?? #define?N???4???//?4張牌，可變?? #define?RES?24??//?運(yùn)算結(jié)果為24，可變?? #define?EPS?1e-6?? ?? struct?Elem?? {?? ????Elem(double?r,?string&?i):res(r),info(i){}?? ????Elem(double?r,?char*?i):res(r),info(i){}?? ????double?res;?//?運(yùn)算出的數(shù)據(jù)?? ????string?info;?//?運(yùn)算的過程?? ????bool?operator<(const?Elem&?e)?const?? ????{?? ????????return?res?<?e.res;?//?在set的紅黑樹插入操作中需要用到比較操作?? ????}?? };?? ?? int?A[N];???//?記錄N個數(shù)據(jù)?? //?用二進(jìn)制數(shù)來表示集合和子集的概念，0110表示集合包含第2,3個數(shù)?? set<Elem>?vset[1<<N];???//?包含4個元素的集合共有16個子集0-15?? ?? set<Elem>&?Fork(int?m)?? {?? ????//?memo遞歸?? ????if?(vset[m].size())?? ????{?? ????????return?vset[m];?? ????}?? ????for?(int?i=1;?i<=m/2;?i++)?? ????????if?((i&m)?==?i)?? ????????{?? ????????????set<Elem>&?s1?=?Fork(i);?? ????????????set<Elem>&?s2?=?Fork(m-i);?? ????????????set<Elem>::iterator?cit1;?? ????????????set<Elem>::iterator?cit2;?? ????????????//?得到兩個子集合的笛卡爾積，并對結(jié)果集合的元素對進(jìn)行6種運(yùn)算?? ????????????for?(cit1=s1.begin();?cit1!=s1.end();?cit1++)?? ????????????????for?(cit2=s2.begin();?cit2!=s2.end();?cit2++)?? ????????????????{?? ????????????????????string?str;?? ????????????????????str?=?"("+cit1->info+"+"+cit2->info+")";?? ????????????????????vset[m].insert(Elem(cit1->res+cit2->res,str));?? ????????????????????str?=?"("+cit1->info+"-"+cit2->info+")";?? ????????????????????vset[m].insert(Elem(cit1->res-cit2->res,str));?? ????????????????????str?=?"("+cit2->info+"-"+cit1->info+")";;?? ????????????????????vset[m].insert(Elem(cit2->res-cit1->res,str));?? ????????????????????str?=?"("+cit1->info+"*"+cit2->info+")";?? ????????????????????vset[m].insert(Elem(cit1->res*cit2->res,str));?? ????????????????????if?(abs(cit2->res)>EPS)??? ????????????????????{?? ????????????????????????str?=?"("+cit1->info+"/"+cit2->info+")";?? ????????????????????????vset[m].insert(Elem(cit1->res/cit2->res,str));?? ????????????????????}?? ????????????????????if?(abs(cit1->res)>EPS)?? ????????????????????{?? ????????????????????????str?=?"("+cit2->info+"/"+cit1->info+")";?? ????????????????????????vset[m].insert(Elem(cit2->res/cit1->res,str));?? ????????????????????}?? ????????????????}?? ????????}?? ????return?vset[m];?? }?? ?? int?main()?? {?? ????int?i;?? ????for?(i=0;?i<N;?i++)?? ????????cin?>>?A[i];?? ????//?遞歸的結(jié)束條件?? ????for?(i=0;?i<N;?i++)?? ????{?? ????????char?str[10];?? ????????sprintf(str,"%d",A[i]);?? ????????vset[1<<i].insert(Elem(A[i],str));?? ????}?? ????Fork((1<<N)-1);//開始1111?表示四個數(shù)??? ????//?顯示算出24點(diǎn)的運(yùn)算過程?? ????set<Elem>::iterator?it;?? ????for?(it=vset[(1<<N)-1].begin();??? ???????it!=vset[(1<<N)-1].end();?it++)?? ????????{?? ????????????if?(abs(it->res-RES)?<?EPS)?? ????????????????cout?<<?it->info?<<?endl;?? ????}?? } ?
總結(jié)
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