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編程之美2.1節中的擴展題第1題：如果變量是32位的Dword，則如何統計該二進制數中1的個數。

對于該題，原本的想法還是想采用書中解法三，也就是用統計1中個數的算法v&(v-1)，該算法時間復雜度為該32二進制數中“1”的個數。后來，參見了書中鏈接里的解法，該解法甚妙，復雜度只有若干個位運算，與“1”的數目無關。由于下面這段程序寫的比較難懂，所以在這里解釋一下他的解法。

解法一：

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int?Count(unsigned?x)??

{??

???x?=?x?-?((x?>>?1)?&?0x55555555);??//?1??

???x?=?(x?&?0x33333333)?+?((x?>>?2)?&?0x33333333);???//?2??

???x?=?(x?+?(x?>>?4))?&?0x0F0F0F0F;????//3??

???x?=?x?+?(x?>>?8);???//4??

???x?=?x?+?(x?>>?16);???//5??

???return?x?&?0x0000003F;??//?6??

}??

我們以0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011 0101為例：

第一行中，x>>1是右移一位，(x>>1) 為 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 1010，該結果與0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101相與，等于 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0101 0000，實際上，((x >> 1) & 0×55555555) 該步是想得到原數據x的偶數位的數據。（代碼是先右移，再得奇數位，這個等價于：先得偶數位，再右移）然后，x-((x >> 1) & 0×55555555) 則是 用原數據減去原數據的偶數位。結果是 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 0101，其實，之所有要相減就是為了得到第一位與第二位1的個數的和，第三位與第四位1的個數的和，第五位與第六位1的個數的和，以此類推。那么，為什么要用相減的方法來得到相鄰兩位的和呢？原理是：相鄰兩位1的個數的和是：A-A/2 。原數據是A，右移相當于除2。比如，如果原數據是1（01），那么一半就是0，相減后就是1，所以有1個“1”。如果原數據是3（11），那么一半就是1，相減后就是2，所有總共有2個“1”。這樣，經過第一行的運算，我們得到每兩個相鄰位的“1”的總和。

第二行，類似的，是求將原數據第一位第二位的“1“的個數的和 與 第三位第四位的“1”的個數的和 相加。這樣，第二行執行后，我們可以得到每四位的“1”的個數的和

第三行，可以得到每八位的“1”的個數的和

第四行，可以得到每16位“1”的個數的和

第五行，可以得到32位數中所有1的個數的和。

第六行，由于32位的數據，1的個數最大也就32個，不可能超過2的6位方，所以只要取最后6位數據就是所有數據1的個數的和了。

這里用的是二分法，兩兩一組相加，之后四個四個一組相加，接著八個八個，最后就得到各位之和了。

解法二：

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int?Count(unsigned?x)??

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???unsigned?n;??????

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???n?=?(x?>>?1)?&?033333333333;???//?1??

???x?=?x?-?n;??//?2??

???n?=?(n?>>?1)?&?033333333333;??//?3??

???x?=?x?-?n;???//?4??

???x?=?(x?+?(x?>>?3))?&?030707070707;??//5??

???x?=?modu(x,?63);???//?6??

???return?x;??//7??

}??

這個解法更妙。需要注意的是，033333333333和033333333333都是指 八進制的數。第一行第二行連起來看，這與解法一很類似，目的是為了得到第一位與第二位的“1”的個數和。注意，第31、32位中1的個數和在這一步中被統計好了。

第一行和第三行、第四行連起來看，目的是為了得到第一位與第三位的“1”的個數的和。然后，再與上步的結果加起來，就得到第一位、第二位、第三位的“1”的個數的和。所以，從第一行到第四行就是為了得到 每三位一組的“1”的個數的和。原理是：

相鄰三位的結果是：A-A/2-A/4. 算法中有兩次向移。比如，第一位第二位第三位是011, 則第一次移位后為01，相減后為10，再移位后為0，相減還是10，所以有2個“1”。再比如，第一位第二位第三位是101，則第一次移位后為10，相減后為011，再移位后為1，相減后是010，所以有2個“1”。第五行是求相鄰六位的1的個數第六行，比較難懂。在第五行執行完后，我們得到了七組數據，第32、31位為一組，第30-25為一組，……第6-第1為一組。所以可以寫成:x_0 + x_1 * 64 + x_2 * 64 * 64 + x_3 * 64 * 64* 64+ x_4 * 64 * 64* 64* 64+ x_5 * 64 * 64* 64* 64* 64+ x_6 * 64 * 64* 64* 64* 64* 64，這個數除以63的余數 肯定 與 x_0 +……+x_6 相等（因為32位的數據最多也就32個1）簡短解釋：首先是將二進制各位三個一組，求出每組中1的個數，然后相鄰兩組歸并，得到六個一組的1的個數，最后很巧妙的用除63取余得到了結果。

這個程序只需要十條左右指令，而且不訪存，速度很快。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的编程之美求二进制数中1的个数扩展题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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