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●先進算法●

數學建模中一些常用的算法，比如神經網絡算法、遺傳算法、模擬退火算法和模糊數學方法等可以較容易地解決一些很復雜、常規算法很難解決的問題。這些算法都有很深的理論背景，但是我們的目標在于應用。

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神經網絡

1神經網絡的簡單原理

人工神經網絡是根據人的認識過程而開發出的一種算法。假如我們現在只有一些輸入和相應的輸出，而對如何由輸入得到輸出的機理并不清楚，那么我們可以把輸入與輸出之間的未知過程看成是一個“網絡”，通過不斷地給這個網絡輸入和相應的輸出來“訓練”這個網絡，網絡根據輸入和輸出不斷地調節自己的各節點之間的權值來滿足輸入和輸出。這樣，當訓練結束后，我們給定一個輸入，網絡便會根據自己調節好的權值計算出一個輸出。這就是神經網絡的簡單原理。

2神經元和神經網絡的結構

如上所述，神經網絡的基本結構圖如下圖所示：神經網絡一般都有多層，分為輸入層、輸出層和隱含層，層數越多，計算結果越精確，但所需的時間也就越長，所以實際應用中要根據要求設計網絡層數。

神經網絡中每一個節點叫做一個人工神經元，他對應于人腦中的神經元，兩者的結構比較如上圖；

一個人工神經元一般有多個輸入和一個輸出，另外有一個激發函數，不同的激發函數對應了不同的網絡，也決定了網絡的用途。

3神經網絡的分類

神經網絡按照網絡結構和激發函數的不同可分為許多種，我們在此只是對感知器和BP網絡進行簡介。

感知器：

? ? ? ? ?最早也是最簡單的一種神經網絡，他的神經元激發函數為階躍函數，神經元結構如下圖1，感知器主要用于分類；

BP網絡：

? ? ? ? ?應用得最為廣泛，最為重要的一種神經網絡。這種網絡一般有多層，網絡結構如下圖2

BP網絡的用途十分廣泛，可用于以下方面：

函數逼近：用輸入矢量和相應的輸出矢量訓練一個網絡逼近一個函數

模式識別：用一個特定的輸出矢量將他與輸入矢量聯系起來

分? ? ?類：把輸入矢量以所定義的合適方式進行分類

數據壓縮：減少輸出矢量維數以便于傳輸或存儲

4神經網絡在數學建模中的應用

數學建模中有很多題目可以用神經網絡加以解決，比較典型的題目有：DNA序列分類題(2000年全國賽A題)，癌癥判斷題(2001年北京大學數學建模競賽)，乳房癌的診斷題(2001年全國大學生數學建模夏令營C題)。下面我們使用神經網絡的方法解決癌癥判斷題(2001年北京大學數學建模競賽)，題目如下：

附件中的文件給出了一個114個基因，60個人的基因表達水平的樣本，其中前20個是癌癥病人的基因表達水平的樣本(其中還可能有子類)，其后的是20個正常人的基因表達信息樣本，其余的20個是待檢測的樣本(未知它們是否正常)。

(1)試設法找出描述癌癥與正常樣本在基因表達水平上的區別，建立數學模型及識別方法，去檢測待檢測樣本是癌癥還是正常樣本。

(2)設計圖示(可視化)方法，使得在你的數學模型下，盡量清楚地表現癌癥與正常樣本在基因表達水平上的區別，以及癌癥樣本中是否有子類。

這道題是很典型的神經網絡的分類問題，只需用感知器神經網絡便能完成此分類工作，我們用前40組數據對網絡進行訓練，再用訓練好的網絡來計算后20組數據，便能得到此分類的結果。

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遺傳算法

1遺傳算法的簡單原理

遺傳算法(Genetic Algorithm, GA)是一-種基于自然群體遺傳演化機制的高效探索算法，它摒棄了傳統的搜索方式，模擬自然界生物進化過程，采用人工進化的方式對目標空間進行隨機化搜索。它將問題域中的可能解看作是群體的-一個個體或染色體,并將每一個體編碼成符號串形式，模擬達爾文的遺傳選擇和自然淘汰的生物進化過程，對群體反復進行基于遺傳學的操作(遺傳，交叉和變異)，根據預定的目標適應度函數對每個個體進行評價，依據適者生存，優勝劣汰的進化規則，不斷得到更優的群體，同時以全局并行搜索方式來搜索優化群體中的最優個體，求得滿足要求的最優解。

我們先通過一個例子來了解遺傳算法的原理:.

假定我們要求函數f(x)=x2的極大值，其中x為自然數，0≤x≤31?，F在，我們將每一個數看成一一個生命體，通過進化，我們看誰能最后生存下來，誰就是我們所尋找的數。

①.編碼

我們將每一一個數作為一個生命體，那么必須給其賦予一定的基因，這個過程叫做編碼。我們可以把變量x編碼成5位長的_二進制無符號整數表示形式，比如x=13可表示為01101的形式，也就是說，數13的基因為01101。

②.初始群體的生成

由于遺傳的需要，我們必須設定- -些初始的生物群體，讓其作為生物繁殖的第一代，需要說明的是，初始群體的每個個體都是通過隨機方法產生的，這樣便可以保證生物的多樣性和競爭的公平性。

③.適應度評估檢測

生物的進化服從適者生存，優勝劣汰的進化規則，因此，我們必須規定什么樣的基因是“優”的，什么樣的基因是“劣”的，在這里，我們稱為適應度。顯然，由于我們要求f(x)=x2的最大值，因此，能使f(x)=x2較大的基因是優

的，使f(x)=x2較小的基因是劣的，因此，我們可以將f(x)= x2定義為適應度函數，用來衡量某一生物體的適應程度。

④.選擇

接下來，我們便可以進行優勝劣汰的過程,這個過程在遺傳算法里叫做選擇。注意，選擇應該是一個隨機的過程，基因差的生物體不一-定會被淘汰，只是其被淘汰概率比較大罷了，這與自然界中的規律是相同的。因此，我們可以采取賭論的方式來進行選擇。

⑤.交叉操作

接下來進行交叉繁殖，隨機選出兩個生物體，讓其交換- -部分基因，這樣便形成了兩個新的生物體，為第二代。

⑥.變異

生物界中不但存在著遺傳，同時還存在著變異，在這里我們也引入變異，使生物體的基因中的某- -位以- -定的概率發生變化，這樣引入適當的擾動，能避免局部極值的問題。

以上的算法便是最簡單的遺傳算法，通過以上步驟不斷地進化，生物體的基因便逐漸地趨向最優，最后便能得到我們想要的結果。

2遺傳算法的步驟

從上面的例子中，我們便能得到遺傳算法的一般步驟，如下圖所示：

3遺傳算法的應用

遺傳算法主要是用來尋優，它具有很多優點：它能有效地避免局部最優現象，有極其頑強的魯棒性，并且在尋優過程中，基本不需要任何搜索空間的知識和其他輔助信息等等。

為了介紹遺傳算法的應用，我們將前面的例子進行完，整個過程如下：

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模擬退火算法

1模擬退火算法的簡單原理

模擬退火算法主要用于解決組和優化問題，它是模擬物理中晶體物質的退火過程而開發的一種優化算法。

在對固體物質進行模擬退火處理時，通常先將它加溫熔化，使其中的粒子可自由運動，然后隨著溫度的逐漸下降，粒子也逐漸形成了低能態的晶格。若在凝結點附近的溫度下降速率足夠慢，則固體物質一定會形成最低能態的基態。

對于組合優化問題來說，它也有這樣的類似過程。組合優化問題解空間中的每一點都代表一個具有不同目標函數值的解。所謂優化，就是在解空間中尋找目標函數最小(大)解的過程。若把目標函數看成能量函數，某一控制參數視為溫度T，解空間當作形態空間，那么尋找基態的過程也就是求目標函數極小值的優化過程。

2模擬退火算法的應用

如前所述，模擬退火算法主要用于解決組和優化問題，典型的例子是用模擬退火算法來解決TSP問題。

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模糊數學方法

1模糊數學的簡單原理

①.模糊集

對于傳統集合，-一個元素要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，我們用1表示元素屬于該集合，用0表示元素不屬于這個集合。

模糊集合論認為，一個元素可以不完全屬于-一個集合，用[0，1]之間的- -個數來表示一個元素屬于一個集合的程度,這個數叫做該元素屬于該集合的隸屬度。

②.模糊概念的清晰化

我們可以設定一個數(比如0.5)，當一個元素的隸屬度大于這個數時，我們就可以認為該元素屬于這個集合，這就是模糊概念的清晰化。

2模糊數學的應用舉例

模糊數學在數學建模中主要用于模糊決策，這也是決策論中很重要的一部分內容，我們通過下面的例子來說明。

有7名同學進行了畢業論文的答辯，有10位教授要對同學的答辯做出評分，評分采取等級制，各等級的分數如下: .

評分標準 一等 二等?三等?四等?五等?六等

分數? ? ? ?10? ? 8? ? ?6? ? ?4? ? ?3? ? ?1

將參加評選的同學進行兩兩比較評分，例如x1→x2 (以先評價的x2為基準，后評價的x:為對象進行相對比較評分)。比如10人所給相加的總分為80分，則學生x1對x2的優先選擇比為r12=80/100= 0.80(其中分母100為10個教授都給最高分時的總分)相應的x2對x1的優先選擇比為r=1-r2 =1-0.8 = 0.2.利用上面的方法便可以得到下表:

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的多类感知器算法题目_先进算法讲解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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