李雅普諾夫指數(shù)(Lyapunov)是一個較為典型的判斷一個系統(tǒng)是否具有混沌特性以及混沌的程度分析方法。

李雅普諾夫指數(shù)：在相空間中初始時無限接近的兩個軌道，隨著時間的不斷推移按指數(shù)收斂或發(fā)散的平均變化率，它可以定量描述混沌系統(tǒng)在局部范圍里系統(tǒng)軌道間的分離程度。

假設在一維動力系統(tǒng) Xn+1=F(Xn)，為了表示從整體上看相鄰兩狀態(tài)分離的情況，必須對時間(或迭代次數(shù))取平均，不妨設平均每次迭代所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)為λ，原 來相距為ε的兩點經(jīng)過n次迭代后[相距為]：

如果λ>0，運動軌道的局部不穩(wěn)定，相鄰點的軌道的終按指數(shù)方式分離，則在 此作用下反復折疊，形成混沌吸引子。

在n維連續(xù)動力學系統(tǒng)中，將一個無窮小n維的球作為系統(tǒng)的初始條件，隨著動力 系統(tǒng)的演化向相空間的各個方向作伸展或收縮，球?qū)⒆優(yōu)闄E球，將橢球的所有主軸按其長度順序徘列，那么第i個李雅普諾夫指數(shù)根據(jù)第i個主軸的長度pi(t)的增加速率定義為:

將這n 個李雅普諾夫指數(shù)按照從大到小進行排序，得到李雅普諾夫指數(shù)譜：

λ1>=λ2>=λ3>=…>=λn。對于混沌系統(tǒng)，必須有一個正的李雅普諾夫數(shù)，所以通常采用計算最大李雅普諾夫指數(shù)的方法來判斷系統(tǒng)是否是混沌的。

以sine函數(shù)為例，求其最大李指數(shù)

子函數(shù)：

function newx=sine_f1(x)newx=x(2)*sin(pi*x(1))/4;

主函數(shù)：?

clc;cleard0=1e-7;Z=[]; r=0.5;for u=linspace(0,8,800) le=0; lsum=0; x=[r;u]; x1=[r+d0;u]; for k=1:800 x=sine_f1(x); x1=sine_f1(x1); d1=sqrt((x(1)-x1(1))^2);%1范數(shù) x1=x+(d0/d1)*(x1-x); if k>100 lsum=lsum+log(d1/d0); end x=[x(1);u]; x1=[x1(1);u]; end le=lsum/(k-100); Z=[Z,u+le*1i]; endplot(Z,'-') xlabel('k','fontsize',12,'FontAngle','italic');ylabel('Lyapunov exponent','fontsize',12,'FontAngle','italic');grid on;

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Matlab求解混沌系统最大李雅普诺夫指数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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