一、基本概念

????????LCS是最長公共子序列（Longest common subsequence problem）的縮寫。LCS問題是在一組序列（通常只有兩個序列）中找到所有序列共有的最長子序列的問題。它與最長公共子串問題不同：與子串不同，子序列不需要占據(jù)原始序列中的連續(xù)位置。最長公共子序列問題是經(jīng)典的計算機(jī)科學(xué)問題，是 diff 實用程序等數(shù)據(jù)比較程序的基礎(chǔ)，在計算語言學(xué)和生物信息學(xué)中有應(yīng)用。它還被 Git 等版本控制系統(tǒng)廣泛用于協(xié)調(diào)對受版本控制的文件集合所做的多項更改。

????????例如，考慮序列 (ABCD) 和 (ACBAD)。它們有 5 個長度為 2 的公共子序列：(AB)、(AC)、(AD)、(BD) 和 (CD)； 2個長度為3的公共子序列：（ABD）和（ACD）；并且不再有更長的公共子序列。所以 (ABD) 和 (ACD) 是它們最長的公共子序列。

• 復(fù)雜度：

????????對于任意數(shù)量的輸入序列的一般情況，問題是 NP-hard。[1]當(dāng)序列數(shù)不變時，該問題可通過動態(tài)規(guī)劃在多項式時間內(nèi)求解。

二、兩個序列的解決方案

????????LCS 問題有一個最優(yōu)子結(jié)構(gòu)：問題可以分解為更小、更簡單的子問題，而這些子問題又可以分解為更簡單的子問題，依此類推，直到最終解決方案變得微不足道。 LCS 尤其具有重疊的子問題：高級子問題的解決方案通常重用低級子問題的解決方案。具有這兩個屬性的問題適用于動態(tài)規(guī)劃方法，其中子問題解決方案被記憶，即子問題的解決方案被保存以供重用。

S的前綴定義為S的前n個字符[5]例如，S = (AGCA) 的前綴是

假設(shè) LCS(X, Y) 是一個計算 X 和 Y 共有的最長子序列的函數(shù)。這樣的函數(shù)有兩個有趣的屬性。

2.1 第一個屬性

• 兩個字符串具有相同尾序，那么同時去掉兩者的尾序，不影響它們的距離

LCS(X^A,Y^A) = LCS(X,Y)^A，對于所有字符串 X、Y 和所有符號 A，其中 ^ 表示字符串連接。這允許簡化以相同符號結(jié)尾的兩個序列的 LCS 計算。例如，LCS("BANANA","ATANA") = LCS("BANAN","ATAN")^"A"，繼續(xù)其余常用符號，LCS("BANANA","ATANA") = LCS("BAN","AT")^"ANA"。

2.2 第二個屬性

• 如果 A 和 B 是不同的符號 (A≠B)，則 LCS(X^A,Y^B) 是以下兩者的最大者：LCS(X^A,Y), LCS(X,Y ^B) }，適用于所有字符串 X、Y。

例如，LCS("ABCDEFG","BCDGK") 是 LCS("ABCDEFG","BCDG") 和 LCS("ABCDEF","BCDGK") 中最長的字符串；如果兩者碰巧長度相等，則可以任意選擇其中之一。

????????證明，分兩種情況：

• 如果 以 結(jié)尾，那么最后的不能在 LCS 中，因此 。

• 如果 不以 結(jié)尾，則最后的 不能在 LCS 中，因此。

2.3 LCS 函數(shù)的定義

????????讓兩個序列定義如下：和 。 的前綴是; 的前綴是。令?表示最長的集合前綴 和 ?的公共子序列。這組序列由以下給出。

????????要找到?? 和 的 ，請比較 和 。如果它們相等，則序列
由擴(kuò)展成?。如果它們不相等，則下面兩個序列中最長的被保留， 和 。 （如果它們的長度相同，則保留兩者。）

三、兩個序列的應(yīng)用實例

?????????示例：找到 R = (GAC) 和 C = (AGCAT) 共有的最長子序列。因為 LCS 函數(shù)使用“第零”元素，所以為這些序列定義空的零前綴很方便：R0 = ?;和 C0 = ?。所有前綴都放在一個表中，第一行是 C（使其成為列標(biāo)題），第一列是 R（使其成為行標(biāo)題）。

????????該表用于存儲每個計算步驟的 LCS 序列。第二列和第二行已經(jīng)用?填充了，因為當(dāng)一個空序列與一個非空序列進(jìn)行比較時，最長的公共子序列總是一個空序列。

????????LCS(R1, C1) 通過比較每個序列中的第一個元素來確定。 G 和 A 不相同，所以這個 LCS 獲得（使用“第二個屬性”）兩個序列中最長的一個，LCS(R1, C0) 和 LCS(R0, C1)。根據(jù)表格，這兩個都是空的，所以 LCS(R1, C1) 也是空的，如下表所示。箭頭表示序列來自上方的單元格 LCS(R0, C1) 和左側(cè)的單元格 LCS(R1, C0)。

????????LCS(R1,C2)是通過比較G和G來確定的。它們匹配，所以將G附加到左上序列，LCS(R0,C1)，即(?)，給出(?G)，即(G) .

????????對于 LCS(R1, C3)，G 和 C 不匹配。上面的序列是空的；左邊的一個包含一個元素，G。選擇其中最長的一個，LCS（R1，C3）是（G）。箭頭指向左側(cè)，因為這是兩個序列中最長的。

LCS(R1,?C4), likewise, is (G).

LCS(R1,?C5), likewise, is (G).

????????對于 LCS(R2, C1)，將 A 與 A 進(jìn)行比較。兩個元素匹配，因此將 A 附加到 ?，得到 (A)。

????????對于LCS(R2,C2)，A和G不匹配，所以使用LCS(R1,C2)中最長的(G)和LCS(R2,C1)中最長的(A)。在這種情況下，它們每個都包含一個元素，因此這個 LCS 有兩個子序列：(A) 和 (G)。

????????對于 LCS(R2, C3)，A 與 C 不匹配。 LCS(R2, C2) 包含序列 (A) 和 (G)； LCS(R1, C3) 是 (G)，它已經(jīng)包含在 LCS(R2, C2) 中。結(jié)果是 LCS(R2, C3) 還包含兩個子序列 (A) 和 (G)。

????????對于 LCS(R2, C4)，A 匹配附加到左上角單元格的 A，給出 (GA)。

????????對于LCS(R2,C5)，A不匹配T。比較(GA)和(G)這兩個序列，最長的是(GA)，所以LCS(R2,C5)就是(GA)。

對于 LCS(R3, C1)，C 和 A 不匹配，因此 LCS(R3, C1) 獲得兩個序列中最長的 (A)。

對于 LCS(R3, C2)，C 和 G 不匹配。 LCS(R3, C1) 和 LCS(R2, C2) 都有一個元素。結(jié)果是 LCS(R3, C2) 包含兩個子序列，(A) 和 (G)。

對于 LCS(R3, C3)，C 和 C 匹配，因此 C 被附加到 LCS(R2, C2) 中，其中包含 (A) 和 (G) 兩個子序列，得到 (AC) 和 (GC)。

對于 LCS(R3, C4)，C 和 A 不匹配。將包含 (AC) 和 (GC) 的 LCS(R3, C3) 和包含 (GA) 的 LCS(R2, C4) 組合起來，總共得到三個序列：(AC)、(GC) 和 (GA) ）。

最后，對于 LCS(R3, C5)，C 和 T 不匹配。結(jié)果是 LCS(R3, C5) 還包含三個序列，(AC)、(GC) 和 (GA)。

????????最終的結(jié)果是最后一個單元格包含了（AGCAT）和（GAC）共有的所有最長子序列；它們是 (AC)、(GC) 和 (GA)。該表還顯示了每對可能的前綴的最長公共子序列。例如，對于 (AGC) 和 (GA)，最長的公共子序列是 (A) 和 (G)。

四、追溯方法

????????計算LCS表中一行的LCS只需要當(dāng)前行和上一行的解。盡管如此，對于長序列，這些序列可能會變得很多而且很長，需要大量的存儲空間。存儲空間可以通過保存的不是實際的子序列，而是子序列的長度和箭頭的方向來節(jié)省，如下表所示。

?

?????????實際的子序列在“追溯”過程中推導(dǎo)出來，該過程從表中的最后一個單元格開始，沿著箭頭向后。當(dāng)長度減小時，這些序列必須有一個共同的元素。當(dāng)一個單元格中顯示兩個箭頭時，可能有多個路徑。下表是此類分析的表格，其中長度即將減少的單元格中帶有顏色的數(shù)字。粗體數(shù)字描繪了序列，（GA）。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的编辑距离：最长公共子序列-LCS问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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