?一、前言

????????在文：低差異序列：范德科皮特序列（Van der Corput sequence）中提到范德科皮特序列是低差異序列。

????????本文講用?van der Corput sequences序列構建高維度的低差異序列Halton sequence，以及使用方法。

二、基本概念

????????在數學中，低差異序列是具有以下性質的序列：對于 N 的所有值，其子序列 x1，...，xN 具有低差異。

????????粗略地說，如果序列中落入任意集合 B 的點的比例接近于與 B 的度量成比例，則序列的差異很小，這在平均情況下會發生（但不是針對特定樣本）一個等分布的序列。關于 B 的選擇（超球體、超立方體等）以及如何計算每個 B 的差異（通常是標準化）和組合（通常采用最差值），差異的具體定義有所不同。

????????低差異序列也稱為準隨機序列，因為它們通常用作均勻分布隨機數的替代品。 “準”修飾符用于更清楚地表示低差異序列的值既不是隨機也不是偽隨機，但此類序列共享隨機變量的某些屬性，并且在某些應用中，例如準蒙特卡羅方法，它們的差異較小是一個重要的優勢。

低差異序列可以用下圖理解：

三、Halton sequence序列

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????????Halton 序列是根據使用互質數作為其基礎的確定性方法構建的。舉個簡單的例子，讓我們假設 Halton 序列的一個維度基于 2，而另一個基于 3。要生成 2 的序列，我們首先將區間 (0,1) 分成兩半，然后再分成四分之一、八分之一等，從而產生

1?2、1?4、3?4、1?8、5?8、3?8、7?8、1?16、9?16、...

????????等效地，這個序列的第 n 個數字是用二進制表示的數字 n，反轉并寫在小數點后。這適用于任何基地。例如，要找到上述序列的第六個元素，我們可以寫 6 = 1*22 + 1*21 + 0*20 = 1102，可以將其取反并放在小數點后得到 0.0112 = 0* 2-1 + 1*2-2 + 1*2-3 = 3?8。所以上面的順序是一樣的

0.12, 0.012, 0.112, 0.0012, 0.1012, 0.0112, 0.1112, 0.00012, 0.10012,...
為了生成 3 的序列，我們將區間 (0,1) 分為三等分，然后是九分之九、七分之二等，生成

1?3、2?3、1?9、4?9、7?9、2?9、5?9、8?9、1?27、...
當我們將它們配對時，我們會在一個單位正方形中得到一系列點：

(1?2, 1?3), (1?4, 2?3), (3?4, 1?9), (1?8, 4?9), (5?8, 7?9), (3?8, 2?9), (7?8, 5?9), (1?16, 8?9), (9?16, 1?27)。

???????? Halton 序列在低維中表現得非常好，但在從較高素數生成的序列之間已經注意到相關問題。例如，如果我們從質數 17 和 19 開始，前 16 對點： (1?17, 1?19), (2?17, 2?19), (3?17, 3?19) 。 .. (16?17, 16?19) 將具有完美的線性相關性。為避免這種情況，通常會刪除前 20 個條目，或根據所選素數刪除一些其他預定數量。還提出了幾種其他方法。最突出的解決方案之一是加擾 Halton 序列，它使用用于構建標準序列的系數的排列。另一種解決方案是跳躍式 Halton，它會跳過標準序列中的點。例如，僅使用每個第 409 個點（Halton 核心序列中未使用的其他素數也是可能的），可以實現顯著的改進。

四、圖像處理

4.1 Halton序列生成程序

def halton(b):"""Generator function for Halton sequence."""n, d = 0, 1while True:x = d - nif x == 1:n = 1d *= belse:y = d // bwhile x <= y:y //= bn = (b + 1) * y - xyield n / d

4.2 halton與randon函數的比較

????????下圖表示用halton序列和計算機內randon函數生成的10、100、1000、10000個點的隨機序列，可見，halton對空間的覆蓋更勻稱高效。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的低差别序列：高维序列（Halton sequence）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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