說明：

? ? ? ? 國內(nèi)學(xué)生普遍認(rèn)為，學(xué)完高等數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就到頭了。曾經(jīng)談?wù)撈饠?shù)學(xué)，一位北大學(xué)子夸耀自己高數(shù)有多牛，那么高數(shù)之外還有沒有數(shù)學(xué)，我告訴你們，高數(shù)僅僅是個(gè)預(yù)備活動(dòng)，談不上理解。學(xué)完泛函分析，才是近代數(shù)學(xué)的起跑點(diǎn)。

一、能量基本概念

在物理上，基本的能量公式為：，號(hào)稱動(dòng)能。其中m是質(zhì)量，v是速度，而且。

然而在數(shù)學(xué)上，既無質(zhì)量概念、又無時(shí)間的概念，因此，給定常數(shù)m=c=1，t=c=1，因此能量的概念變成：

此處告訴我們，長度（距離）具有能量的某些特征。因而更簡(jiǎn)化公式是：

長度的平方就是能量。也就是，能量的函數(shù)是個(gè)拋物函數(shù)，就是這與物理上能量的定義是一致的。

再比如：電學(xué)當(dāng)中，是電流能量，在譜分解原理中，功率譜也是信號(hào)的平方。總之，能量是一個(gè)平方函數(shù)。自然界，能量函數(shù)總有最小值，這是一個(gè)普遍規(guī)律。

二、勾股定律和能量守恒

在直角坐標(biāo)系中，存在“勾股定律”，從能量角度上說，一定長度構(gòu)成的能量，可以分解到正交坐標(biāo)系中，能量不會(huì)丟失。比如：

線段L在可以在任意直角坐標(biāo)P、Q、R表示，坐標(biāo)值可能變了，但L能量不變。?且恒有

?定理：信號(hào)在同維度正交坐標(biāo)系下表示，其能量是守恒的。

因此，信號(hào)在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，只要坐標(biāo)是正交的，那么，信號(hào)能量不會(huì)損失；反變換也能回到初始信號(hào)狀態(tài)。關(guān)于正交投影，將在專題中論述。

三、 能量和歐式距離

對(duì)于任意兩個(gè)點(diǎn)的距離是：

由于d是一個(gè)線段，那么就是兩點(diǎn)之能量。

因此，給定任意兩個(gè)點(diǎn)，其距離的平方，就是兩點(diǎn)之能量。

四、圓周上的能量守恒

?用直角坐標(biāo)系表示圓周L和K，如圖：

?由于L上任意一點(diǎn)都有如下屬性：

因此，綠色圓上的所有點(diǎn)相對(duì)原點(diǎn)的能量全部是,處于等能量狀態(tài)。同樣，在紅色圓K上，其上任意點(diǎn)也處于等能量態(tài)。這也不奇怪，因?yàn)榍『檬呛瘮?shù)的一條等高線。

四、方差和能量

給定一組坐標(biāo)問這些點(diǎn)到哪個(gè)點(diǎn)的總能量最低？

也就是說，以某點(diǎn)為基點(diǎn)，所有點(diǎn)到該點(diǎn)的能量總和為最小。

于是：以為自變量的極值問題。

化簡(jiǎn)于是：,這就是所有點(diǎn)的平均么！

同理，

因此所有點(diǎn)的期望值（平均）；恰好是到所有點(diǎn)的能量最低的點(diǎn)。

?因而，對(duì)于這個(gè)統(tǒng)計(jì)問題，能量、方差、期望，在冥冥之中，存在以上的內(nèi)在關(guān)系。

除此之外，還有線代的關(guān)系、柯西不等式，距離空間、傅里葉變換等，都是相關(guān)的話題，留著，以后慢慢展現(xiàn)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习系列3：能量函数分析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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