?1 射影空間

數學上，一個射影空間可以被看作是通過向量空間V的原點的直線的集合。以及的射影空間分別為實射影直線和實射影平面，其中?R表示實數域，表示有序實數對，表示實有序三元組。

2 射影空間的公理

• 每兩個不同的點p和q恰好位于一條直線上。
• 維布倫公理：[2]如果a,?b,?c,?d為不同的點，并且通過ab和cd的直線相交，那么通過ac和bd的直線也相交。
• 任意直線上至少有3個點。
• 平行線在無窮遠處相交。

3 一個證明問題

例 ：設過點 S 的三直線分別交直線ξ與η于 A, B, C; A′, B′, C′. O 是直線ξ與η的交點.試證,四點 O , P = A B′× A′B, Q = A C′× A′C, R = B C′× B′C 共線.

思路：觀察S點和O點，將S和O向遠處移動，命題同樣成立。繼續向遠方移動S和O，移動到無窮遠處，則圖像如下：

SA//SB//SC三線平行。同樣線ABC//A'B'C',即兩線也平行，因此，ABC和A'B'C'構成若干個平行四邊形。而PQR是這些平行四邊形的中心，所以，PQR構成直線，且居于ABC和A'B'C'中間位置。

因此，在射影幾何中，將常規頂點挪到無限遠處，將相交直線轉成平行線，構成等價問題，這是一個重要思路。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的射影几何笔记4：证明的思路的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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