一、說明

????????高斯函數(shù)廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域，隨機(jī)過程，譜分析等。在信號(hào)處理領(lǐng)域，用于定義高斯濾波器，在圖像處理領(lǐng)域，二維高斯核函數(shù)常用于高斯模糊Gaussian Blur，在數(shù)理方程領(lǐng)域，主要是用于解決熱力方程和擴(kuò)散方程，以及定義Weiertrass Transform。

????????對(duì)于AI工程人員，掌握一維高斯函數(shù)顯得少，而掌握多維的也不常用，一般掌握二維高斯較為合適。對(duì)這種函數(shù)的基本認(rèn)知包括，導(dǎo)數(shù)、積分、n階矩等，本篇談一維和二維高斯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

二、一維高斯函數(shù)

一維高斯函數(shù)表現(xiàn)為：

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：?

一維高斯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以寫成：

三、n維高斯函數(shù)表達(dá)式

????????n維高斯函數(shù)，一般在隨機(jī)過程中討論，指n個(gè)隨機(jī)變量，構(gòu)成的聯(lián)合整體分布。但日常工程一般n=2討論為多。這里先引進(jìn)高維，不失一般性討論n=2的高斯函數(shù)。

其中：,(其中X和都是向量)。

K= 是什么？這里注意，若是n維度的高斯，就有n個(gè)隨機(jī)變量，這n個(gè)隨機(jī)變量每兩個(gè)都有一個(gè)相關(guān)系數(shù)：,其中相關(guān)系數(shù)矩陣是：【這里務(wù)必提醒大家--相關(guān)矩陣和協(xié)方差矩陣不是一碼事，但關(guān)系緊密！！！】

再次明確：是兩個(gè)不同的隨機(jī)變量。

?因?yàn)?#xff1a;，所以：

K就是協(xié)方差矩陣。?

四、當(dāng)n=2維的高斯函數(shù)梯度

????????二維高斯函數(shù)在計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域用處廣泛，利用0均值的二維高斯函數(shù)，可以生成高斯卷積核，用于圖像處理中的高斯濾波，實(shí)現(xiàn)高斯模糊的效果，有效去除高斯噪聲。除此之外，halcon應(yīng)用大量高斯函數(shù)進(jìn)行物件檢測(cè)，與傅里葉變換結(jié)合，能產(chǎn)生機(jī)器豐富的算法，

總公式是：

?,是期望

K是協(xié)方差矩陣：

??

?

因而，的聯(lián)合分布函數(shù)的密度是：

對(duì)X1和X2求偏導(dǎo)數(shù)后，得到二元高斯函數(shù)梯度：

結(jié)論：

1）多維高斯函數(shù)的梯度，是在一個(gè)橢圓上的梯度，不在一個(gè)圓上。

2）如果出現(xiàn)二元高斯的時(shí)域分析，可以用梯度的泰勒展開化簡，近似。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的随机过程：高斯函数导数、梯度的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。