一、 二次無理數(shù)

????????二次無理數(shù)（quadratic irrational）是某些有理數(shù)系數(shù)的一元二次方程的根。若將所有系數(shù)乘以分母的最小公倍數(shù)，即可將系數(shù)轉(zhuǎn)換為整數(shù)。因此所有二次無理數(shù)都可以表示成

其中

• 為整數(shù)，
• 是無平方數(shù)因數(shù)的數(shù)
• 不為零。

????????若c為正數(shù)，所得的是實二次無理數(shù)，若c為負數(shù)，所得的是復(fù)二次無理數(shù)。二次無理數(shù)是可數(shù)集。

????????1770年，拉格朗日證明一個數(shù)字能表示成循環(huán)連分數(shù)，當且僅當此數(shù)為實二次無理數(shù)[1]。例如。

二、達文波特-施密特(Davenport–Schmidt theorem);

????????在數(shù)學中，特別是在丟番圖近似領(lǐng)域，達文波特-施密特定理告訴我們某種實數(shù)可以用另一種實數(shù)來近似。具體來說，它告訴我們，我們可以通過使用二次無理數(shù)或簡單的有理數(shù)來很好地逼近非二次的無理數(shù)。它以 Harold Davenport 和 Wolfgang M. Schmidt 的名字命名。

????????給定一個有理數(shù)或二次無理數(shù) α，我們可以找到唯一整數(shù) x、y 和 z，使得 x、y 和 z 不全為零，其中第一個非零是正數(shù)，它們是相對素數(shù)，我們有

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????????如果 α 是二次無理數(shù)，我們可以將 x、y 和 z 作為其最小多項式的系數(shù)。如果 α 是有理數(shù)，我們將有 x = 0。通過為每個這樣的 α 唯一確定的這些整數(shù)，我們可以將 α 的高度定義為

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????????然后定理說，對于任何既不是有理數(shù)也不是二次無理數(shù)的實數(shù) ξ，我們可以找到無窮多個實數(shù) α，它們是有理數(shù)或二次無理數(shù)并且滿足

????????其中 C 是任何滿足 C > 160/9 的實數(shù)。 [1]

????????雖然該定理與 Roth 定理有關(guān)，但它的真正用途在于它是有效的，即對于任何給定的 ξ 都可以計算出常數(shù) C。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的基础数学：关于二次无理数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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