第一次寫關于算法的問題。今天數據庫課老師在講數據庫底層實現的時候提到了位圖索引，最后歸結為1的個數，以前看到很多次關于1的個數的計算，今天總結一下。

最開始是有《編程之美》里面的問題引出的：如何最快地讀取到二進制中1的個數.

最開始我也是感覺一個個地數不就完了，但是人家說了要求最快。一個個的數是O(N)級的。

1. 比如：int count=0;

for(;x;x>>1)

{

count++;

}//當然也有每次用x直接除以2 的。

2.后來就是用x&(x-1)的結果是否為0來判斷，如果為零，有一個1，否則沒有。

所以有：

for(;x;count++)

x&=x-1;

3.查表大法，就是一一列舉這n位二進制所有的可能到數組中，然后直接查表就是了，這里就不贅述了

4.這個新的方法叫shift and add,正如名字一樣，該算法用的就是shift 和add(移位和加法)：

對于n位二進制數，最多有n個1，而n必定能由n位二進制數來表示，因此我們在求出某k位中1的個數后，可以將結果直接存儲在這k位中，不需要額外的空間。

以4位二進制數abcd為例，最終結果是a+b+c+d，循環的話需要4步加法

那么我們讓abcd相鄰的兩個數相加，也就是 a+b+c+d=[a+b]+[c+d]

[0 b 0 d]

[0 a 0 c]

--------

[e f] [ g h]

ef=a+b ? gh=c+d 而 0b0d=(abcd)&0101,0a0c=(abcd)>>1 &0101

[ef] ?[gh]再相鄰的兩組相加

[00 ef]

[gh]

--------

i j k l

ijkl=ef+gh ?gh=(efgh)&& 0011 ,ef=(efgh)>>2 & 0011

依次入次遞推。需要log(N)次

代碼如下：

typedef unsigned __int64 uint64; //assume this gives 64-bits

const uint64 m1 = 0x5555555555555555; //binary: 0101...

const uint64 m2 = 0x3333333333333333; //binary: 00110011..

const uint64 m4 = 0x0f0f0f0f0f0f0f0f; //binary: 4 zeros, 4 ones ...

const uint64 m8 = 0x00ff00ff00ff00ff; //binary: 8 zeros, 8 ones ...

const uint64 m16 = 0x0000ffff0000ffff; //binary: 16 zeros, 16 ones ...

const uint64 m32 = 0x00000000ffffffff; //binary: 32 zeros, 32 ones

int popcount_1(uint64 x) {

x = (x & m1 ) + ((x >> 1) & m1 );

x = (x & m2 ) + ((x >> 2) & m2 );

x = (x & m4 ) + ((x >> 4) & m4 );

x = (x & m8 ) + ((x >> 8) & m8 );

x = (x & m16) + ((x >> 16) & m16);

x = (x & m32) + ((x >> 32) & m32);

return x;

}

5.對shift and add的優化：

看到有三種優化，這里只提兩種吧

1

int popcount_2(uint64 x)

{

x -= (x >> 1) & m1;

x = (x & m2) + ((x >> 2) & m2);

x = (x + (x >> 4)) & m4;

x += x >> 8;

x += x >> 16;

x += x >> 32;

return x & 0x7f;

}

2.

int popcount_3(uint64 x) {

x -= (x >> 1) & m1;

x = (x & m2) + ((x >> 2) & m2);

x = (x + (x >> 4)) & m4;

return (x * h01)>>56;

據說這可是MIT的牛人想出來的高招(當時是求余，現在換成除法了更快)

我也是參見了wikipedia(但是看不懂)和http://blog.ibread.net/375/pop-count-problem/上面的文章。

int popcount_3(uint64 x) {

x -= (x >> 1) & m1;

x = (x & m2) + ((x >> 2) & m2);

x = (x + (x >> 4)) & m4;

return (x * h01)>>56;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的hamming weight_popcount或者hamming weight（二进制1的个数问题）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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