线性判别分析（Linear Discriminant Analysis）（一）
1. 問(wèn)題
???? 之前我們討論的PCA、ICA也好，對(duì)樣本數(shù)據(jù)來(lái)言，可以是沒(méi)有類別標(biāo)簽y的。回想我們做回歸時(shí)，如果特征太多，那么會(huì)產(chǎn)生不相關(guān)特征引入、過(guò)度擬合等問(wèn)題。我們可以使用PCA來(lái)降維，但PCA沒(méi)有將類別標(biāo)簽考慮進(jìn)去，屬于無(wú)監(jiān)督的。
???? 比如回到上次提出的文檔中含有“l(fā)earn”和“study”的問(wèn)題，使用PCA后，也許可以將這兩個(gè)特征合并為一個(gè)，降了維度。但假設(shè)我們的類別標(biāo)簽y是判斷這篇文章的topic是不是有關(guān)學(xué)習(xí)方面的。那么這兩個(gè)特征對(duì)y幾乎沒(méi)什么影響，完全可以去除。
???? 再舉一個(gè)例子，假設(shè)我們對(duì)一張100*100像素的圖片做人臉識(shí)別，每個(gè)像素是一個(gè)特征，那么會(huì)有10000個(gè)特征，而對(duì)應(yīng)的類別標(biāo)簽y僅僅是0/1值，1代表是人臉。這么多特征不僅訓(xùn)練復(fù)雜，而且不必要特征對(duì)結(jié)果會(huì)帶來(lái)不可預(yù)知的影響，但我們想得到降維后的一些最佳特征（與y關(guān)系最密切的），怎么辦呢？
2. 線性判別分析（二類情況）
???? 回顧我們之前的logistic回歸方法，給定m個(gè)n維特征的訓(xùn)練樣例（i從1到m），每個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)類標(biāo)簽。我們就是要學(xué)習(xí)出參數(shù)，使得（g是sigmoid函數(shù)）。
???? 現(xiàn)在只考慮二值分類情況，也就是y=1或者y=0。
???? 為了方便表示，我們先換符號(hào)重新定義問(wèn)題，給定特征為d維的N個(gè)樣例，，其中有個(gè)樣例屬于類別，另外個(gè)樣例屬于類別。
???? 現(xiàn)在我們覺(jué)得原始特征數(shù)太多，想將d維特征降到只有一維，而又要保證類別能夠“清晰”地反映在低維數(shù)據(jù)上，也就是這一維就能決定每個(gè)樣例的類別。
???? 我們將這個(gè)最佳的向量稱為w（d維），那么樣例x（d維）到w上的投影可以用下式來(lái)計(jì)算
????
???? 這里得到的y值不是0/1值，而是x投影到直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。
???? 當(dāng)x是二維的，我們就是要找一條直線（方向?yàn)閣）來(lái)做投影，然后尋找最能使樣本點(diǎn)分離的直線。如下圖：
????
???? 從直觀上來(lái)看，右圖比較好，可以很好地將不同類別的樣本點(diǎn)分離。
???? 接下來(lái)我們從定量的角度來(lái)找到這個(gè)最佳的w。
???? 首先我們尋找每類樣例的均值（中心點(diǎn)），這里i只有兩個(gè)
????
???? 由于x到w投影后的樣本點(diǎn)均值為
????
???? 由此可知，投影后的的均值也就是樣本中心點(diǎn)的投影。
???? 什么是最佳的直線（w）呢？我們首先發(fā)現(xiàn)，能夠使投影后的兩類樣本中心點(diǎn)盡量分離的直線是好的直線，定量表示就是：
????
???? J(w)越大越好。
???? 但是只考慮J(w)行不行呢？不行，看下圖
????
???? 樣本點(diǎn)均勻分布在橢圓里，投影到橫軸x1上時(shí)能夠獲得更大的中心點(diǎn)間距J(w)，但是由于有重疊，x1不能分離樣本點(diǎn)。投影到縱軸x2上，雖然J(w)較小，但是能夠分離樣本點(diǎn)。因此我們還需要考慮樣本點(diǎn)之間的方差，方差越大，樣本點(diǎn)越難以分離。
???? 我們使用另外一個(gè)度量值，稱作散列值（scatter），對(duì)投影后的類求散列值，如下
????
???? 從公式中可以看出，只是少除以樣本數(shù)量的方差值，散列值的幾何意義是樣本點(diǎn)的密集程度，值越大，越分散，反之，越集中。
???? 而我們想要的投影后的樣本點(diǎn)的樣子是：不同類別的樣本點(diǎn)越分開(kāi)越好，同類的越聚集越好，也就是均值差越大越好，散列值越小越好。正好，我們可以使用J(w)和S來(lái)度量，最終的度量公式是
????
???? 接下來(lái)的事就比較明顯了，我們只需尋找使J(w)最大的w即可。
???? 先把散列值公式展開(kāi)
????
???? 我們定義上式中中間那部分
????
???? 這個(gè)公式的樣子不就是少除以樣例數(shù)的協(xié)方差矩陣么，稱為散列矩陣（scatter matrices）
???? 我們繼續(xù)定義
????
???? 稱為Within-class scatter matrix。
???? 那么回到上面的公式，使用替換中間部分，得
????
????
???? 然后，我們展開(kāi)分子
????
???? 稱為Between-class scatter，是兩個(gè)向量的外積，雖然是個(gè)矩陣，但秩為1。
???? 那么J(w)最終可以表示為
????
???? 在我們求導(dǎo)之前，需要對(duì)分母進(jìn)行歸一化，因?yàn)椴蛔鰵w一的話，w擴(kuò)大任何倍，都成立，我們就無(wú)法確定w。因此我們打算令，那么加入拉格朗日乘子后，求導(dǎo)
????
???? 其中用到了矩陣微積分，求導(dǎo)時(shí)可以簡(jiǎn)單地把當(dāng)做看待。
???? 如果可逆，那么將求導(dǎo)后的結(jié)果兩邊都乘以，得
????
???? 這個(gè)可喜的結(jié)果就是w就是矩陣的特征向量了。
???? 這個(gè)公式稱為Fisher linear discrimination。
???? 等等，讓我們?cè)儆^察一下，發(fā)現(xiàn)前面的公式
????
???? 那么
????
???? 代入最后的特征值公式得
????
???? 由于對(duì)w擴(kuò)大縮小任何倍不影響結(jié)果，因此可以約去兩邊的未知常數(shù)和，得到
????
???? 至此，我們只需要求出原始樣本的均值和方差就可以求出最佳的方向w，這就是Fisher于1936年提出的線性判別分析。
???? 看上面二維樣本的投影結(jié)果圖：
????
3. 線性判別分析（多類情況）
???? 前面是針對(duì)只有兩個(gè)類的情況，假設(shè)類別變成多個(gè)了，那么要怎么改變，才能保證投影后類別能夠分離呢？
我們之前討論的是如何將d維降到一維，現(xiàn)在類別多了，一維可能已經(jīng)不能滿足要求。假設(shè)我們有C個(gè)類別，需要K維向量（或者叫做基向量）來(lái)做投影。
???? 將這K維向量表示為。
???? 我們將樣本點(diǎn)在這K維向量投影后結(jié)果表示為，有以下公式成立
????
????
???? 為了像上節(jié)一樣度量J(w)，我們打算仍然從類間散列度和類內(nèi)散列度來(lái)考慮。
???? 當(dāng)樣本是二維時(shí)，我們從幾何意義上考慮：
????
???? 其中和與上節(jié)的意義一樣，是類別1里的樣本點(diǎn)相對(duì)于該類中心點(diǎn)的散列程度。變成類別1中心點(diǎn)相對(duì)于樣本中心點(diǎn)的協(xié)方差矩陣，即類1相對(duì)于的散列程度。
???? 為
????
???? 的計(jì)算公式不變，仍然類似于類內(nèi)部樣本點(diǎn)的協(xié)方差矩陣
????
???? 需要變，原來(lái)度量的是兩個(gè)均值點(diǎn)的散列情況，現(xiàn)在度量的是每類均值點(diǎn)相對(duì)于樣本中心的散列情況。類似于將看作樣本點(diǎn)，是均值的協(xié)方差矩陣，如果某類里面的樣本點(diǎn)較多，那么其權(quán)重稍大，權(quán)重用Ni/N表示，但由于J(w)對(duì)倍數(shù)不敏感，因此使用Ni。
????
???? 其中
????
???? 是所有樣本的均值。
???? 上面討論的都是在投影前的公式變化，但真正的J(w)的分子分母都是在投影后計(jì)算的。下面我們看樣本點(diǎn)投影后的公式改變：
???? 這兩個(gè)是第i類樣本點(diǎn)在某基向量上投影后的均值計(jì)算公式。
????
????
???? 下面兩個(gè)是在某基向量上投影后的和
????
????
???? 其實(shí)就是將換成了。
???? 綜合各個(gè)投影向量（w）上的和，更新這兩個(gè)參數(shù)，得到
????
????
???? W是基向量矩陣，是投影后的各個(gè)類內(nèi)部的散列矩陣之和，是投影后各個(gè)類中心相對(duì)于全樣本中心投影的散列矩陣之和。
???? 回想我們上節(jié)的公式J(w)，分子是兩類中心距，分母是每個(gè)類自己的散列度。現(xiàn)在投影方向是多維了（好幾條直線），分子需要做一些改變，我們不是求兩兩樣本中心距之和（這個(gè)對(duì)描述類別間的分散程度沒(méi)有用），而是求每類中心相對(duì)于全樣本中心的散列度之和。
???? 然而，最后的J(w)的形式是
????
???? 由于我們得到的分子分母都是散列矩陣，要將矩陣變成實(shí)數(shù)，需要取行列式。又因?yàn)樾辛惺降闹祵?shí)際上是矩陣特征值的積，一個(gè)特征值可以表示在該特征向量上的發(fā)散程度。因此我們使用行列式來(lái)計(jì)算（此處我感覺(jué)有點(diǎn)牽強(qiáng)，道理不是那么有說(shuō)服力）。
???? 整個(gè)問(wèn)題又回歸為求J(w)的最大值了，我們固定分母為1，然后求導(dǎo)，得出最后結(jié)果（我翻查了很多講義和文章，沒(méi)有找到求導(dǎo)的過(guò)程）
????
???? 與上節(jié)得出的結(jié)論一樣
????
???? 最后還歸結(jié)到了求矩陣的特征值上來(lái)了。首先求出的特征值，然后取前K個(gè)特征向量組成W矩陣即可。
???? 注意：由于中的 秩為1，因此的秩至多為C（矩陣的秩小于等于各個(gè)相加矩陣的秩的和）。由于知道了前C-1個(gè)后，最后一個(gè)可以有前面的來(lái)線性表示，因此的秩至多為C-1。那么K最大為C-1，即特征向量最多有C-1個(gè)。特征值大的對(duì)應(yīng)的特征向量分割性能最好。
???? 由于不一定是對(duì)稱陣，因此得到的K個(gè)特征向量不一定正交，這也是與PCA不同的地方。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的线性判别分析（Linear Discriminant Analysis）（一）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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