簡單形象又有趣地說說強大的神經網絡

圖片：The Playful Geometer / CC BY

如何簡單形象又有趣地講解神經網絡是什么？

王小龍，數學，計算機視覺，圖形圖像處理

神經網絡很萌的！

0. 分類

神經網絡最重要的用途是分類，為了讓大家對分類有個直觀的認識，咱們先看幾個例子：

• 垃圾郵件識別：現在有一封電子郵件，把出現在里面的所有詞匯提取出來，送進一個機器里，機器需要判斷這封郵件是否是垃圾郵件。
• 疾病判斷：病人到醫院去做了一大堆肝功、尿檢測驗，把測驗結果送進一個機器里，機器需要判斷這個病人是否得病，得的什么病。
• 貓狗分類：有一大堆貓、狗照片，把每一張照片送進一個機器里，機器需要判斷這幅照片里的東西是貓還是狗。

這種能自動對輸入的東西進行分類的機器，就叫做分類器。

分類器的輸入是一個數值向量，叫做特征（向量）。在第一個例子里，分類器的輸入是一堆 0、1 值，表示字典里的每一個詞是否在郵件中出現，比如向量 (1,1,0,0,0......) 就表示這封郵件里只出現了兩個詞 abandon 和 abnormal；第二個例子里，分類器的輸入是一堆化驗指標；第三個例子里，分類器的輸入是照片，假如每一張照片都是 320*240 像素的紅綠藍三通道彩色照片，那么分類器的輸入就是一個長度為 320*240*3=230400 的向量。

分類器的輸出也是數值。第一個例子中，輸出 1 表示郵件是垃圾郵件，輸出 0 則說明郵件是正常郵件；第二個例子中，輸出 0 表示健康，輸出 1 表示有甲肝，輸出 2 表示有乙肝，輸出 3 表示有餅干等等；第三個例子中，輸出 0 表示圖片中是狗，輸出 1 表示是貓。

分類器的目標就是讓正確分類的比例盡可能高。一般我們需要首先收集一些樣本，人為標記上正確分類結果，然后用這些標記好的數據訓練分類器，訓練好的分類器就可以在新來的特征向量上工作了。

1. 神經元

咱們假設分類器的輸入是通過某種途徑獲得的兩個值，輸出是 0 和 1，比如分別代表貓和狗。現在有一些樣本：

大家想想，最簡單地把這兩組特征向量分開的方法是啥？當然是在兩組數據中間畫一條豎直線，直線左邊是狗，右邊是貓，分類器就完成了。以后來了新的向量，凡是落在直線左邊的都是狗，落在右邊的都是貓。

一條直線把平面一分為二，一個平面把三維空間一分為二，一個 n-1 維超平面把 n 維空間一分為二，兩邊分屬不同的兩類，這種分類器就叫做神經元。

大家都知道平面上的直線方程是?，等式左邊大于零和小于零分別表示點??在直線的一側還是另一側，把這個式子推廣到 n 維空間里，直線的高維形式稱為超平面，它的方程是：

神經元就是當 h 大于 0 時輸出 1，h 小于 0 時輸出 0 這么一個模型，它的實質就是把特征空間一切兩半，認為兩瓣分別屬兩個類。你恐怕再也想不到比這更簡單的分類器了，它是 McCulloch 和 Pitts 在 1943 年想出來了。

這個模型有點像人腦中的神經元：從多個感受器接受電信號?，進行處理（加權相加再偏移一點，即判斷輸入是否在某條直線??的一側），發出電信號（在正確的那側發出 1，否則不發信號，可以認為是發出 0），這就是它叫神經元的原因。

當然，上面那幅圖我們是開了上帝視角才知道“一條豎直線能分開兩類”，在實際訓練神經元時，我們并不知道特征是怎么抱團的。神經元模型的一種學習方法稱為 Hebb 算法：

先隨機選一條直線 / 平面 / 超平面，然后把樣本一個個拿過來，如果這條直線分錯了，說明這個點分錯邊了，就稍微把直線移動一點，讓它靠近這個樣本，爭取跨過這個樣本，讓它跑到直線正確的一側；如果直線分對了，它就暫時停下不動。因此訓練神經元的過程就是這條直線不斷在跳舞，最終跳到兩個類之間的豎直線位置。

2. 神經網絡

MP 神經元有幾個顯著缺點。首先它把直線一側變為 0，另一側變為 1，這東西不可微，不利于數學分析。人們用一個和 0-1 階躍函數類似但是更平滑的函數 Sigmoid 函數來代替它（Sigmoid 函數自帶一個尺度參數，可以控制神經元對離超平面距離不同的點的響應，這里忽略它），從此神經網絡的訓練就可以用梯度下降法來構造了，這就是有名的反向傳播算法。

神經元的另一個缺點是：它只能切一刀！你給我說說一刀怎么能把下面這兩類分開吧。

解決辦法是多層神經網絡，底層神經元的輸出是高層神經元的輸入。我們可以在中間橫著砍一刀，豎著砍一刀，然后把左上和右下的部分合在一起，與右上的左下部分分開；也可以圍著左上角的邊沿砍 10 刀把這一部分先挖出來，然后和右下角合并。

每砍一刀，其實就是使用了一個神經元，把不同砍下的半平面做交、并等運算，就是把這些神經元的輸出當作輸入，后面再連接一個神經元。這個例子中特征的形狀稱為異或，這種情況一個神經元搞不定，但是兩層神經元就能正確對其進行分類。

只要你能砍足夠多刀，把結果拼在一起，什么奇怪形狀的邊界神經網絡都能夠表示，所以說神經網絡在理論上可以表示很復雜的函數 / 空間分布。但是真實的神經網絡是否能擺動到正確的位置還要看網絡初始值設置、樣本容量和分布。

神經網絡神奇的地方在于它的每一個組件非常簡單——把空間切一刀 + 某種激活函數 (0-1 階躍、sigmoid、max-pooling)，但是可以一層一層級聯。輸入向量連到許多神經元上，這些神經元的輸出又連到一堆神經元上，這一過程可以重復很多次。這和人腦中的神經元很相似：每一個神經元都有一些神經元作為其輸入，又是另一些神經元的輸入，數值向量就像是電信號，在不同神經元之間傳導，每一個神經元只有滿足了某種條件才會發射信號到下一層神經元。當然，人腦比神經網絡模型復雜很多：人工神經網絡一般不存在環狀結構；人腦神經元的電信號不僅有強弱，還有時間緩急之分，就像莫爾斯電碼，在人工神經網絡里沒有這種復雜的信號模式。

神經網絡的訓練依靠反向傳播算法：最開始輸入層輸入特征向量，網絡層層計算獲得輸出，輸出層發現輸出和正確的類號不一樣，這時它就讓最后一層神經元進行參數調整，最后一層神經元不僅自己調整參數，還會勒令連接它的倒數第二層神經元調整，層層往回退著調整。這很像中國的文藝體制，武媚娘傳奇劇組就是網絡中的一個神經元，最近剛剛調整了參數。

3. 大型神經網絡

我們不禁要想了，假如我們的這個網絡有 10 層神經元，第 8 層第 2015 個神經元，它有什么含義呢？我們知道它把第七層的一大堆神經元的輸出作為輸入，第七層的神經元又是以第六層的一大堆神經元做為輸入，那么這個特殊第八層的神經元，它會不會代表了某種抽象的概念？

就好比你的大腦里有一大堆負責處理聲音、視覺、觸覺信號的神經元，它們對于不同的信息會發出不同的信號，那么會不會有這么一個神經元（或者神經元小集團），它收集這些信號，分析其是否符合某個抽象的概念，和其他負責更具體和更抽象概念的神經元進行交互。

2012 年多倫多大學的 Krizhevsky 等人構造了一個超大型卷積神經網絡[1]，有 9 層，共 65 萬個神經元，6 千萬個參數。網絡的輸入是圖片，輸出是 1000 個類，比如小蟲、美洲豹、救生船等等。這個模型的訓練需要海量圖片，它的分類準確率也完爆先前所有分類器。紐約大學的Zeiler 和 Fergusi[2]把這個網絡中某些神經元挑出來，把在其上響應特別大的那些輸入圖像放在一起，看它們有什么共同點。他們發現中間層的神經元響應了某些十分抽象的特征。

第一層神經元主要負責識別顏色和簡單紋理：

第二層的一些神經元可以識別更加細化的紋理，比如布紋、刻度、葉紋。

第三層的一些神經元負責感受黑夜里的黃色燭光、雞蛋黃、高光。

第四層的一些神經元負責識別萌狗的臉、七星瓢蟲和一堆圓形物體的存在。

第五層的一些神經元可以識別出花、圓形屋頂、鍵盤、鳥、黑眼圈動物。

這里面的概念并不是整個網絡的輸出，是網絡中間層神經元的偏好，它們為后面的神經元服務。雖然每一個神經元都傻不拉幾的（只會切一刀），但是 65 萬個神經元能學到的東西還真是深邃呢。

[1] Krizhevsky, A., Sutskever, I., & Hinton, G. E. (2012). Imagenet classification with deep convolutional neural networks. In Advances in neural information processing systems (pp. 1097-1105).

[2] Zeiler, M. D., & Fergus, R. (2013). Visualizing and understanding convolutional neural networks. arXiv preprint arXiv:1311.2901.

總結

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