隨機梯度下降（Stochastic gradient descent）和 批量梯度下降（Batch gradient descent ）的公式對比、實現對比
標簽： 梯度下降最優化迭代 2013-05-25 21:21 56374人閱讀 收藏 舉報
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梯度下降（GD）是最小化風險函數、損失函數的一種常用方法，隨機梯度下降和批量梯度下降是兩種迭代求解思路，下面從公式和實現的角度對兩者進行分析，如有哪個方面寫的不對，希望網友糾正。
下面的h(x)是要擬合的函數，J(theta)損失函數，theta是參數，要迭代求解的值，theta求解出來了那最終要擬合的函數h(theta)就出來了。其中m是訓練集的記錄條數，j是參數的個數。
1、批量梯度下降的求解思路如下：
（1）將J(theta)對theta求偏導，得到每個theta對應的的梯度
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（2）由于是要最小化風險函數，所以按每個參數theta的梯度負方向，來更新每個theta
（3）從上面公式可以注意到，它得到的是一個全局最優解，但是每迭代一步，都要用到訓練集所有的數據，如果m很大，那么可想而知這種方法的迭代速度！！所以，這就引入了另外一種方法，隨機梯度下降。
2、隨機梯度下降的求解思路如下：
（1）上面的風險函數可以寫成如下這種形式，損失函數對應的是訓練集中每個樣本的粒度，而上面批量梯度下降對應的是所有的訓練樣本：
（2）每個樣本的損失函數，對theta求偏導得到對應梯度，來更新theta
（3）隨機梯度下降是通過每個樣本來迭代更新一次，如果樣本量很大的情況（例如幾十萬），那么可能只用其中幾萬條或者幾千條的樣本，就已經將theta迭代到最優解了，對比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到十幾萬訓練樣本，一次迭代不可能最優，如果迭代10次的話就需要遍歷訓練樣本10次。但是，SGD伴隨的一個問題是噪音較BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向著整體最優化方向。
3、對于上面的linear regression問題，與批量梯度下降對比，隨機梯度下降求解的會是最優解嗎？
（1）批量梯度下降---最小化所有訓練樣本的損失函數，使得最終求解的是全局的最優解，即求解的參數是使得風險函數最小。
（2）隨機梯度下降---最小化每條樣本的損失函數，雖然不是每次迭代得到的損失函數都向著全局最優方向， 但是大的整體的方向是向全局最優解的，最終的結果往往是在全局最優解附近。
4、梯度下降用來求最優解，哪些問題可以求得全局最優？哪些問題可能局部最優解？
對于上面的linear regression問題，最優化問題對theta的分布是unimodal，即從圖形上面看只有一個peak，所以梯度下降最終求得的是全局最優解。然而對于multimodal的問題，因為存在多個peak值，很有可能梯度下降的最終結果是局部最優。
5、隨機梯度和批量梯度的實現差別
以前一篇博文中NMF實現為例，列出兩者的實現差別（注：其實對應Python的代碼要直觀的多，以后要練習多寫python！）
[java] view plaincopyprint?
??public?void?updatePQ_stochastic(double?alpha,?double?beta)?{??????for?(int?i?=?0;?i?<?M;?i++)?{??????????ArrayList<Feature>?Ri?=?this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();??????????for?(Feature?Rij?:?Ri)?{????????????????????????????double?PQ?=?0;??????????????for?(int?k?=?0;?k?<?K;?k++)?{??????????????????PQ?+=?P[i][k]?*?Q[k][Rij.dim];??????????????}??????????????double?eij?=?Rij.weight?-?PQ;??????????????????????????????for?(int?k?=?0;?k?<?K;?k++)?{??????????????????double?oldPik?=?P[i][k];??????????????????P[i][k]?+=?alpha??????????????????????????*?(2?*?eij?*?Q[k][Rij.dim]?-?beta?*?P[i][k]);??????????????????Q[k][Rij.dim]?+=?alpha??????????????????????????*?(2?*?eij?*?oldPik?-?beta?*?Q[k][Rij.dim]);??????????????}??????????}??????}??}??????public?void?updatePQ_batch(double?alpha,?double?beta)?{????????for?(int?i?=?0;?i?<?M;?i++)?{??????????ArrayList<Feature>?Ri?=?this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();????????????for?(Feature?Rij?:?Ri)?{????????????????????????????double?PQ?=?0;??????????????for?(int?k?=?0;?k?<?K;?k++)?{??????????????????PQ?+=?P[i][k]?*?Q[k][Rij.dim];??????????????}??????????????Rij.error?=?Rij.weight?-?PQ;??????????}??????}????????for?(int?i?=?0;?i?<?M;?i++)?{??????????ArrayList<Feature>?Ri?=?this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();??????????for?(Feature?Rij?:?Ri)?{??????????????for?(int?k?=?0;?k?<?K;?k++)?{????????????????????????????????????double?eq_sum?=?0;??????????????????double?ep_sum?=?0;????????????????????for?(int?ki?=?0;?ki?<?M;?ki++)?{??????????????????????ArrayList<Feature>?tmp?=?this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();??????????????????????for?(Feature?Rj?:?tmp)?{??????????????????????????if?(Rj.dim?==?Rij.dim)??????????????????????????????ep_sum?+=?P[ki][k]?*?Rj.error;??????????????????????}??????????????????}??????????????????for?(Feature?Rj?:?Ri)?{??????????????????????eq_sum?+=?Rj.error?*?Q[k][Rj.dim];??????????????????}??????????????????????????????????????P[i][k]?+=?alpha?*?(2?*?eq_sum?-?beta?*?P[i][k]);??????????????????Q[k][Rij.dim]?+=?alpha?*?(2?*?ep_sum?-?beta?*?Q[k][Rij.dim]);??????????????}??????????}??????}??}?? // 隨機梯度下降，更新參數public void updatePQ_stochastic(double alpha, double beta) {for (int i = 0; i < M; i++) {ArrayList<Feature> Ri = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();for (Feature Rij : Ri) {// eij=Rij.weight-PQ for updating P and Qdouble PQ = 0;for (int k = 0; k < K; k++) {PQ += P[i][k] * Q[k][Rij.dim];}double eij = Rij.weight - PQ;// update Pik and Qkjfor (int k = 0; k < K; k++) {double oldPik = P[i][k];P[i][k] += alpha* (2 * eij * Q[k][Rij.dim] - beta * P[i][k]);Q[k][Rij.dim] += alpha* (2 * eij * oldPik - beta * Q[k][Rij.dim]);}}}}// 批量梯度下降，更新參數public void updatePQ_batch(double alpha, double beta) {for (int i = 0; i < M; i++) {ArrayList<Feature> Ri = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();for (Feature Rij : Ri) {// Rij.error=Rij.weight-PQ for updating P and Qdouble PQ = 0;for (int k = 0; k < K; k++) {PQ += P[i][k] * Q[k][Rij.dim];}Rij.error = Rij.weight - PQ;}}for (int i = 0; i < M; i++) {ArrayList<Feature> Ri = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();for (Feature Rij : Ri) {for (int k = 0; k < K; k++) {// 對參數更新的累積項double eq_sum = 0;double ep_sum = 0;for (int ki = 0; ki < M; ki++) {// 固定k和j之后,對所有i項加和ArrayList<Feature> tmp = this.dataset.getDataAt(i).getAllFeature();for (Feature Rj : tmp) {if (Rj.dim == Rij.dim)ep_sum += P[ki][k] * Rj.error;}}for (Feature Rj : Ri) {// 固定k和i之后,對多有j項加和eq_sum += Rj.error * Q[k][Rj.dim];}// 對參數更新P[i][k] += alpha * (2 * eq_sum - beta * P[i][k]);Q[k][Rij.dim] += alpha * (2 * ep_sum - beta * Q[k][Rij.dim]);}}}}
總結
以上是生活随笔為你收集整理的随机梯度下降（Stochastic gradient descent）和 批量梯度下降（Batch gradient descent ）的公式对比、实现对比的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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