牛頓法 （ Newton's method ）又稱為 牛頓-拉夫遜方法 （ Newton-Raphson method ）， 將非線性方程 f(x) = 0 近似為： ?? ?f ( x k ) + f ′ ( x k )( x k +1 - ? x k ) = 0，得


如果 f' 是 連續 的，并且待求的零點 x 是孤立的，那么在零點 x 周圍存在一個區域，只要初始值 x₀ 位于這個鄰近區域內，那么牛頓法必定收斂。并且，如果 f'(x) 不為0, 那么牛頓法將具有平方收斂的性能. 粗略的說，這意味著每迭代一次，牛頓法結果的有效數字將增加一倍

例題一：
求方程f?(x?) = cos(x?) ??x?³?的根。兩邊求導，得f??'(x?) = ?sin(x?) ? 3x?²?。由于cos(x?) ≤ 1（對于所有x?），以及x?³> 1（對于x?>1），可知方程的根位于0和1之間。我們從x?₀?= 0.5開始。

總結

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