56.樹與樹算法

樹的概念

樹（英語：tree）是一種抽象數據類型（ADT）或是實作這種抽象數據類型的數據結構，用來模擬具有樹狀結構性質的數據集合。它是由n（n>=1）個有限節點組成一個具有層次關系的集合。把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：

• 每個節點有零個或多個子節點；
• 沒有父節點的節點稱為根節點；
• 每一個非根節點有且只有一個父節點；
• 除了根節點外，每個子節點可以分為多個不相交的子樹；

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樹的術語

• 節點的度：一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度；
• 樹的度：一棵樹中，最大的節點的度稱為樹的度；
• 葉節點或終端節點：度為零的節點；
• 父親節點或父節點：若一個節點含有子節點，則這個節點稱為其子節點的父節點；
• 孩子節點或子節點：一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點；
• 兄弟節點：具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點；
• 節點的層次：從根開始定義起，根為第1層，根的子節點為第2層，以此類推；
• 樹的高度或深度：樹中節點的最大層次；
• 堂兄弟節點：父節點在同一層的節點互為堂兄弟；
• 節點的祖先：從根到該節點所經分支上的所有節點；
• 子孫：以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的樹的集合稱為森林；

樹的種類

• 無序樹：樹中任意節點的子節點之間沒有順序關系，這種樹稱為無序樹，也稱為自由樹；
• 有序樹：樹中任意節點的子節點之間有順序關系，這種樹稱為有序樹；
  • 二叉樹：每個節點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹；
    • 完全二叉樹：對于一顆二叉樹，假設其深度為d(d>1)。除了第d層外，其它各層的節點數目均已達最大值，且第d層所有節點從左向右連續地緊密排列，這樣的二叉樹被稱為完全二叉樹，其中滿二叉樹的定義是所有葉節點都在最底層的完全二叉樹;
    • 平衡二叉樹（AVL樹）：當且僅當任何節點的兩棵子樹的高度差不大于1的二叉樹；
    • 排序二叉樹（二叉查找樹（英語：Binary Search Tree），也稱二叉搜索樹、有序二叉樹）；
  • 霍夫曼樹（用于信息編碼）：帶權路徑最短的二叉樹稱為哈夫曼樹或最優二叉樹；
  • B樹：一種對讀寫操作進行優化的自平衡的二叉查找樹，能夠保持數據有序，擁有多余兩個子樹。

樹的存儲與表示

順序存儲：將數據結構存儲在固定的數組中，然在遍歷速度上有一定的優勢，但因所占空間比較大，是非主流二叉樹。二叉樹通常以鏈式存儲。?

?鏈式存儲：?

由于對節點的個數無法掌握，常見樹的存儲表示都轉換成二叉樹進行處理，子節點個數最多為2

常見的一些樹的應用場景

1.xml，html等，那么編寫這些東西的解析器的時候，不可避免用到樹
2.路由協議就是使用了樹的算法
3.mysql數據庫索引
4.文件系統的目錄結構
5.所以很多經典的AI算法其實都是樹搜索，此外機器學習中的decision tree也是樹結構

57.二叉樹的概念

二叉樹的基本概念

二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）

二叉樹的性質(特性)

性質1:?在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點（i>0）
性質2:?深度為k的二叉樹至多有2^k - 1個結點（k>0）
性質3:?對于任意一棵二叉樹，如果其葉結點數為N0，而度數為2的結點總數為N2，則N0=N2+1;
性質4:具有n個結點的完全二叉樹的深度必為 log2(n+1)
性質5:對完全二叉樹，若從上至下、從左至右編號，則編號為i 的結點，其左孩子編號必為2i，其右孩子編號必為2i＋1；其雙親的編號必為i/2（i＝1 時為根,除外）

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58.二叉樹的廣度優先遍歷

二叉樹的節點表示以及樹的創建

class Node(object):"""節點類"""def __init__(self, item):self.item = itemself.lchild = Noneself.rchild = Noneclass Tree(object):"""樹類"""def __init__(self):self.root = None

59.二叉樹的實現

二叉樹的實現

class Node(object):"""節點類"""def __init__(self, item):self.item = itemself.lchild = Noneself.rchild = Noneclass Tree(object):"""樹類"""def __init__(self):self.root = Nonedef add(self,item):node = Node(item)if self.root is None:self.root = nodereturnqueue = [self.root]while queue:cur_node = queue.pop(0)if cur_node.lchild is None:cur_node.lchild = nodereturnelse:queue.append(cur_node.lchild)if cur_node.rchild is None:cur_node.rchild = nodereturnelse:queue.append(cur_node.rchild)

60.二叉樹的先序、中序、后序遍歷

廣度優先遍歷(層次遍歷)

從樹的root開始，從上到下從從左到右遍歷整個樹的節點

def breadth_travel(self):"""利用隊列實現樹的層次遍歷"""if self.root is None:returnqueue = [self.root]while queue:cur_node = queue.pop(0)print(cur_node.item)if cur_node.lchild is not None:queue.append(cur_node.lchild)if cur_node.rchild is not None:queue.append(cur_node.rchild) if __name__ == "__main__":tree = Tree()tree.add(1)tree.add(2)tree.add(3)tree.add(4)tree.add(5)tree.breadth_travel() 1 2 3 4 5

深度優先遍歷

對于一顆二叉樹，深度優先搜索(Depth First Search)是沿著樹的深度遍歷樹的節點，盡可能深的搜索樹的分支。
那么深度遍歷有重要的三種方法。這三種方式常被用于訪問樹的節點，它們之間的不同在于訪問每個節點的次序不同。這三種遍歷分別叫做先序遍歷（preorder），中序遍歷（inorder）和后序遍歷（postorder）。我們來給出它們的詳細定義，然后舉例看看它們的應用。

先序遍歷

在先序遍歷中，我們先訪問根節點，然后遞歸使用先序遍歷訪問左子樹，再遞歸使用先序遍歷訪問右子樹
根節點->左子樹->右子樹

def preorder(self, node):"""遞歸實現先序遍歷"""if node == None:returnprint(node.item)self.preorder(node.lchild)self.preorder(node.rchild)

中序遍歷

在中序遍歷中，我們遞歸使用中序遍歷訪問左子樹，然后訪問根節點，最后再遞歸使用中序遍歷訪問右子樹
左子樹->根節點->右子樹

def inorder(self, node):"""遞歸實現中序遍歷"""if node == None:returnself.inorder(node.lchild)print(node.item)self.inorder(node.rchild)

后序遍歷 在后序遍歷中，我們先遞歸使用后序遍歷訪問左子樹和右子樹，最后訪問根節點
左子樹->右子樹->根節點

def postorder(self, node):"""遞歸實現后續遍歷"""if node == None:returnself.postorder(node.lchild)self.postorder(node.rchild)print(node.item)

61.二叉樹由遍歷確定一棵樹

二叉樹由遍歷確定一棵樹

后續遍歷：7 8 3 9 4 1 5 6 2 0? ? ? ?左右根

中序遍歷：7?3 8 1 9 4 0 5 2 6? ? ? ?左根右

后續遍歷最后一位為0，說明根是0

中序遍歷：7?3 8 1 9 4? ? ? ? ?? 0? ? ? ? ? 5 2 6? ?

后續遍歷：7 8 3 9 4 1? ? ? ? ? ? 5 6 2? ? ? ?0

7 8 3 9 4 1最后一位是1，說明根是1

中序遍歷：7 3 8? ??1????9 4? ?? 0? ?? ? ?5 2 6? ?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Python数据结构与算法（第七天）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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