生活随笔
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最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现--转
小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.
原文地址：http://blog.csdn.net/jairuschan/article/details/7517773/
概念
最小二乘法多項式曲線擬合，根據給定的m個點,并不要求這條曲線精確地經過這些點，而是曲線y=f(x)的近似曲線y= φ(x)。
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原理
[原理部分由個人根據互聯網上的資料進行總結，希望對大家能有用]
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? ? ?給定數據點pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲線y= φ(x)。并且使得近似曲線與y=f(x)的偏差最小。近似曲線在點pi處的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。?
常見的曲線擬合方法:
? ? ?1.使偏差絕對值之和最小
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? ? ?2.使偏差絕對值最大的最小
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? ? ?3.使偏差平方和最小
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? ? ?按偏差平方和最小的原則選取擬合曲線，并且采取二項式方程為擬合曲線的方法,稱為最小二乘法。
推導過程：
? ? ?1.?設擬合多項式為：
? ? ?? ? ?
? ? ?2.?各點到這條曲線的距離之和，即偏差平方和如下：
? ? ?? ? ?
? ? ?3.?為了求得符合條件的a值，對等式右邊求ai偏導數，因而我們得到了：?
? ? ?? ? ?
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? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?.......
? ? ?? ? ?
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? ? ?4.?將等式左邊進行一下化簡，然后應該可以得到下面的等式：
? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??.......
? ? ?? ? ?
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? ? ?5.?把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣：
? ? ?? ? ?
? ? ?6.?將這個范德蒙得矩陣化簡后可得到:
? ? ?? ? ?
? ? ?7.?也就是說X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系數矩陣A，同時，我們也就得到了擬合曲線。
實現
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運行前提:
Python運行環境與編輯環境；Matplotlib.pyplot圖形庫，可用于快速繪制2D圖表，與matlab中的plot命令類似，而且用法也基本相同。 代碼:
[python]?view plaincopy
??''import?matplotlib.pyplot?as?plt??import?math??import?numpy??import?random????fig?=?plt.figure()??ax?=?fig.add_subplot(111)????order=9????x?=?numpy.arange(-1,1,0.02)??y?=?[((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2)?for?a?in?x]????i=0??xa=[]??ya=[]??for?xx?in?x:??????yy=y[i]??????d=float(random.randint(60,140))/100??????????i+=1??????xa.append(xx*d)??????ya.append(yy*d)????''??ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.')??????matA=[]??for?i?in?range(0,order+1):??????matA1=[]??????for?j?in?range(0,order+1):??????????tx=0.0??????????for?k?in?range(0,len(xa)):??????????????dx=1.0??????????????for?l?in?range(0,j+i):??????????????????dx=dx*xa[k]??????????????tx+=dx??????????matA1.append(tx)??????matA.append(matA1)????matA=numpy.array(matA)????matB=[]??for?i?in?range(0,order+1):??????ty=0.0??????for?k?in?range(0,len(xa)):??????????dy=1.0??????????for?l?in?range(0,i):??????????????dy=dy*xa[k]??????????ty+=ya[k]*dy??????matB.append(ty)?????matB=numpy.array(matB)????matAA=numpy.linalg.solve(matA,matB)????xxa=?numpy.arange(-1,1.06,0.01)??yya=[]??for?i?in?range(0,len(xxa)):??????yy=0.0??????for?j?in?range(0,order+1):??????????dy=1.0??????????for?k?in?range(0,j):??????????????dy*=xxa[i]??????????dy*=matAA[j]??????????yy+=dy??????yya.append(yy)??ax.plot(xxa,yya,color='g',linestyle='-',marker='')????ax.legend()??plt.show()?? 運行效果:?
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轉載于:https://www.cnblogs.com/davidwang456/articles/5582741.html
總結
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