耿貝爾分布是樣本最值的分布

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度娘百科：

耿貝爾分布是根據(jù)極值定理導(dǎo)出，由費(fèi)雪(R·A·Fisher ) 和蒂培特(L·H·C·Tippe -t t) 于1928 年發(fā)現(xiàn)各個(gè)樣本的最大值分布將趨于三種極限形式種的一種，具體由型式參數(shù)K確定，當(dāng)K=0的時(shí)候也就是耿貝爾分布，水文方面主要用第I 型漸近極值分布，是耿貝爾在1941年將此分布應(yīng)用于洪水頻率分析工作，所以也稱(chēng)Fisher一Tippe 優(yōu)工型分布。

耿貝爾分布主要是適用于對(duì)海洋、水文、氣象，來(lái)計(jì)算不同重現(xiàn)期的極端高(低)潮位。 [1]? 海洋的年最高水位可以認(rèn)為是由天文潮和許多隨機(jī)因子的影響形成的。因此,它可以用耿貝爾極值I型分布函數(shù)進(jìn)行擬合。

Wikipedia：

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，Gumbel分布（廣義極值分布類(lèi)型-I）用于模擬各種分布的多個(gè)樣本的最大值（或最小值）的分布。如果存在過(guò)去十年的最大值列表，則該分布可用于表示特定年份中河流的最大水平的分布。它可用于預(yù)測(cè)極端地震，洪水或其他自然災(zāi)害發(fā)生的可能性。Gumbel分布代表最大值分布的潛在適用性與極值理論有關(guān)，表示如果基礎(chǔ)樣本數(shù)據(jù)的分布是正常或指數(shù)類(lèi)型，它可能是有用的。本文的其余部分引用Gumbel分布來(lái)模擬最大值的分布。要對(duì)最小值建模，請(qǐng)使用原始值的負(fù)值。

Gumbel分布是廣義極值分布（也稱(chēng)為Fisher-Tippett分布）的特例。它也被稱(chēng)為log-?Weibull分布和雙指數(shù)分布（或者有時(shí)用于表示拉普拉斯分布的術(shù)語(yǔ)）。它與Gompertz分布有關(guān)：當(dāng)其密度首先反映原點(diǎn)然后限制為正半線時(shí)，獲得Gompertz函數(shù)。

在多項(xiàng)logit模型的潛在變量公式中- 在離散選擇理論中常見(jiàn)- 潛在變量的誤差遵循Gumbel分布。這很有用，因?yàn)閮蓚€(gè)Gumbel分布的隨機(jī)變量的差異具有邏輯分布。

Gumbel分布以Emil Julius Gumbel（1891-1966）命名，基于他描述分布的原始論文。[1]?[2]

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內(nèi)容

• 1屬性
• 2標(biāo)準(zhǔn)Gumbel分布
• 3分位數(shù)函數(shù)和生成Gumbel變量
• 4相關(guān)發(fā)行版
• 5概率論文
• 6申請(qǐng)
• 7另見(jiàn)
• 8參考文獻(xiàn)
• 9外部鏈接

屬性

Gumbel分布的累積分布函數(shù)是

{\ displaystyle F（x; \ mu，\ beta）= e ^ { - e ^ { - （x-\ mu）/ \ beta}}。\，}

模式為μ，而中位數(shù)為?{\ displaystyle \ mu - \ beta \ ln \ left（\ ln 2 \ right），}?平均值由。給出

{\ displaystyle \ operatorname {E}（X）= \ mu + \ gamma \ beta，}

哪里?{\ displaystyle \ gamma \ about 0.5772}是Euler-Mascheroni常數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)差?{\ displaystyle \ sigma}?是?{\ displaystyle \ beta \ pi / {\ sqrt {6}}}?于是?{\ displaystyle \ beta = \ sigma {\ sqrt {6}} / \ pi \約0.78 \ sigma。}?[3]

在模式，在哪里?{\ displaystyle x = \ mu}， 的價(jià)值?{\ displaystyle F（x; \ mu，\ beta）}?變?{\ displaystyle e ^ { - 1} \約0.37}?無(wú)論價(jià)值多少?{\ displaystyle \ beta。}

標(biāo)準(zhǔn)Gumbel分布

標(biāo)準(zhǔn)的Gumbel分布是這樣的?{\ displaystyle \ mu = 0}?和?{\ displaystyle \ beta = 1}?具有累積分布函數(shù)

{\ displaystyle F（x）= e ^ { - e ^ {（ - x）}} \，}

和概率密度函數(shù)

{\ displaystyle f（x）= e ^ { - （x + e ^ { - x}）}。}

在這種情況下，模式為0，中位數(shù)為?{\ displaystyle - \ ln（\ ln（2））\ about 0.3665}，意思是?{\ displaystyle \ gamma}，標(biāo)準(zhǔn)差是?{\ displaystyle \ pi / {\ sqrt {6}} \約1.2825。}

對(duì)于n> 1，累積量由下式給出

{\ displaystyle \ kappa _ {n} =（n-1）！\ zeta（n）。}

分位數(shù)函數(shù)和生成Gumbel變量

由于分位數(shù)函數(shù)（逆累積分布函數(shù)），{\ displaystyle Q（p）}Gumbel分布給出了

{\ displaystyle Q（p）= \ mu - \ beta \ ln（ - \ ln（p）），}

變量?{\ displaystyle Q（U）}?有一個(gè)帶參數(shù)的Gumbel分布?{\ displaystyle \ mu}?和?{\ displaystyle \ beta}?當(dāng)隨機(jī)變量?{\ displaystyle U}是從區(qū)間上的均勻分布中得出的{\ displaystyle（0,1）}。

相關(guān)發(fā)行[

• 如果?{\ displaystyle X}具有Gumbel分布，然后Y = -X的條件分布，假設(shè)Y是正的，或者等效地假設(shè)X是負(fù)的，則具有Gompertz分布。的CDF??的y涉及?F，的CDF?X，由式{\ displaystyle G（y）= P（Y \ leq y）= P（X \ geq -y | X \ leq 0）=（F（0）-F（-y））/ F（0）}對(duì)于y?> 0。因此，密度與之相關(guān){\ displaystyle g（y）= f（-y）/ F（0）}：Gompertz密度與反射的Gumbel密度成比例，限制為正半線。[4]
• 如果X是具有均值1的指數(shù)分布變量，則-log（X）具有標(biāo)準(zhǔn)Gumbel-Distribution。
• 如果?{\ displaystyle X \ sim \ mathrm {Gumbel}（\ alpha _ {X}，\ beta）}?和?{\ displaystyle Y \ sim \ mathrm {Gumbel}（\ alpha _ {Y}，\ beta）}?然后?{\ displaystyle XY \ sim \ mathrm {Logistic}（\ alpha _ {X} - \ alpha _ {Y}，\ beta）\，}（見(jiàn)后勤分配）。
• 如果?{\ displaystyle X}?和?{\ displaystyle Y \ sim \ mathrm {Gumbel}（\ alpha，\ beta）}?然后?{\ displaystyle X + Y \ nsim \ mathrm {Logistic}（2 \ alpha，\ beta）\，}。注意{\ displaystyle E（X + Y）= 2 \ alpha +2 \ beta \ gamma \ neq 2 \ alpha = E \ left（\ mathrm {Logistic}（2 \ alpha，\ beta）\ right）}。

與廣義多變量log-gamma分布相關(guān)的理論提供了Gumbel分布的多變量版本。

概率論文

一張包含Gumbel分布的方格紙。

在預(yù)軟件時(shí)代，概率論文用于描繪Gumbel分布（見(jiàn)插圖）。本文基于累積分布函數(shù)的線性化{\ displaystyle F}?：

{\ displaystyle - \ ln [ - \ ln（F）] =（x- \ mu）/ \ beta}

在該論文中，水平軸以雙對(duì)數(shù)刻度構(gòu)造。垂直軸是線性的。通過(guò)繪圖{\ displaystyle F}?在紙的橫軸和?{\ displaystyle x}- 在垂直軸上可變，分布由具有斜率1的直線表示{\ displaystyle / \ beta}。當(dāng)像CumFreq這樣的分布擬合軟件可用時(shí)，繪制分布的任務(wù)變得更容易，如下面的部分所示。

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分布擬合有信心帶累積Gumbel分布最大單日降雨量十月的。[5]

Gumbel已經(jīng)表明，隨著樣本量的增加，指數(shù)分布后隨機(jī)變量樣本中的最大值（或最后階次統(tǒng)計(jì)量）接近Gumbel分布。[6]

因此，在水文學(xué)中，Gumbel分布用于分析諸如每日降雨量和河流流量的月度和年度最大值等變量，[3]并描述干旱。[7]

岡貝爾還表明，該估計(jì)器- [R?/?（??1）一個(gè)事件的概率- ，其中[R是在數(shù)據(jù)序列中觀察到的值的秩數(shù)，?是觀測(cè)的總數(shù)-是一個(gè)無(wú)偏估計(jì)的分布模式周?chē)睦鄯e概率。因此，該估計(jì)器通常用作繪圖位置。

在數(shù)論中，Gumbel分布近似于整數(shù)[8]的隨機(jī)分區(qū)中的項(xiàng)數(shù)，以及最大素?cái)?shù)間隙和主要星座之間的最大間隙的趨勢(shì)調(diào)整大小。[9]

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，Gumbel分布有時(shí)用于從分類(lèi)分布中生成樣本。[10]

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總結(jié)

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