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1.P類問題和NP類問題

在講NP-Hard問題問題之前，先講P類問題和NP類問題
P類問題：可以找到一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度的算法去解決的問題；
NP類問題：可以在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度的算法去驗(yàn)證結(jié)果正確性的問題；比如隨便拿一個(gè)結(jié)果，可在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證該結(jié)果是否正確，但是想要求解該結(jié)果的時(shí)間復(fù)雜度就不知道了。P類問題一定是NP類問題，但是NP類問題不一定能找到多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度的算法來解決（要是找到了就是P問題了）。所以人們關(guān)心的是：是否所有的NP問題都是P問題，即是否有 P=NP（信息學(xué)的巔峰問題）
目前為止這個(gè)問題還“啃不動(dòng)”。但是，一個(gè)總的趨勢(shì)是人們普遍認(rèn)為，P=NP不成立，也就是說，多數(shù)人相信，存在至少一個(gè)不可能有多項(xiàng)式級(jí)復(fù)雜度的算法的NP問題。人們?nèi)绱藞?jiān)信P≠NP是有原因的，就是在研究NP問題的過程中找出了一類非常特殊的NP問題叫做NP-完全問題，也即所謂的 NPC問題。

2.NP-完全問題（NPC問題）

一個(gè)問題約化為另一個(gè)問題，時(shí)間復(fù)雜度增加了，問題的應(yīng)用范圍也增大了。通過對(duì)某些問題的不斷約化，我們能夠不斷尋找復(fù)雜度更高，但應(yīng)用范圍更廣的算法來代替復(fù)雜度雖然低，但只能用于很小的一類問題的算法。

如果從某一個(gè)NP問題開始不斷向上約化，不斷找到能“通吃”若干小NP問題的一個(gè)稍復(fù)雜的大NP問題，那么最后是否有可能找到一個(gè)時(shí)間復(fù)雜度最高，并且能“通吃”所有的 NP問題的這樣一個(gè)超級(jí)NP問題？

NPC問題：存在這樣一個(gè)NP問題，所有的NP問題都可以約化成它。這種問題不只一個(gè)，它有很多個(gè)，它是一類問題。這一類問題就是NPC 問題。

NPC問題的定義：同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的問題就是NPC問題：首先，它得是一個(gè)NP問題；然后，所有的NP問題都可以約化到它。

NPC問題的證明：先證明它至少是一個(gè)NP問題，再證明其中一個(gè)已知的NPC問題能約化到它（由約化的傳遞性，則NPC問題定義的第二條也得以滿足）

補(bǔ)充約化的概念
問題A可以約化為問題B：可以采用解決問題B的方法解決問題A；或者說，問題A可以轉(zhuǎn)化為問題B。（如：一元二次方程的解法可以用來解一元一次方程，只要令二次項(xiàng)系數(shù)a=0即可）
問題A可以約化為問題B 的直觀意義：B的時(shí)間復(fù)雜度高于或者等于A的時(shí)間復(fù)雜度。也就是說，問題A不比問題B難。
約化具有傳遞性：如果問題A可約化為問題B，問題B可約化為問題C，則問題A一定可約化為問題C。
約化的標(biāo)準(zhǔn)概念：如果能找到這樣一個(gè)變化法則（要求該變化法則為至多多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度），對(duì)任意一個(gè)程序A的輸入，都能按這個(gè)法則變換成程序B的輸入，使兩程序的輸出相同，那么我們說，問題A可約化為問題B。

3.NP-hard問題

NP-hard問題滿足NPC問題定義的第二條而不滿足第一條。NP-hard問題的范圍比NP問題要廣。

NP-hard問題同樣難以找到多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度的算法，但它也不一定是NP問題（只是所有的NP問題都可以約化到它）。

NP-hard問題：指問題S，滿足任何NP問題都可以在多項(xiàng)式級(jí)時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)被歸約為S（歸約：即被歸約的NP問題與S的答案相同，當(dāng)解決了S時(shí)，就同時(shí)解決了所有的NP問題）。可以理解為，這是一個(gè)比所有NP問題都難的問題。

其實(shí)，NP-hard問題是世界七大數(shù)學(xué)難題之首

2000年，美國克萊數(shù)學(xué)研究所公布了世界七大數(shù)學(xué)難題，又稱千禧年大獎(jiǎng)難題。其中P與NP問題被列為這七大世界難題之首，從而大大激發(fā)了對(duì)這一問題的研究熱情。

普林斯頓大學(xué)計(jì)算機(jī)系樓將二進(jìn)制代碼表述的“P=NP?”問題刻進(jìn)頂樓西面的磚頭上。如果證明了P=NP，磚頭可以很方便的換成表示“P=NP！”。
康奈爾大學(xué)的Hubert Chen博士提供了這個(gè)玩笑式的P不等于NP的證明：
反證法。設(shè)P = NP。令y為一個(gè)P = NP的證明。證明y可以用一個(gè)合格的計(jì)算機(jī)科學(xué)家在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)驗(yàn)證，我們認(rèn)定這樣的科學(xué)家的存在性為真。但是，因?yàn)镻 = NP，該證明y可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)由這樣的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)。但是這樣的發(fā)現(xiàn)還沒有發(fā)生（雖然這樣的科學(xué)家試圖發(fā)現(xiàn)這樣的一個(gè)證明），我們得到了矛盾。(上面內(nèi)容來自wiki百科)

典型的NP-hard問題：TSP

售貨員旅行問題 (traveling salesman problem)，是最具有代表性的NP問題之一。假設(shè)一個(gè)推銷員需要從香港出發(fā)，經(jīng)過廣州，北京，上海，…，等 n 個(gè)城市， 最后返回香港。 任意兩個(gè)城市之間都有飛機(jī)直達(dá)，但票價(jià)不等。現(xiàn)在假設(shè)公司只給報(bào)銷 C 塊錢，問是否存在一個(gè)行程安排，使得他能遍歷所有城市，而且總的路費(fèi)小于 C？
推銷員旅行問題顯然是 NP 的。因?yàn)槿绻闳我饨o出一個(gè)行程安排，可以很容易算出旅行總開銷。但是，要想知道一條總路費(fèi)小于 C 的行程是否存在，在最壞情況下，必須檢查所有可能的旅行安排! 這將是個(gè)天文數(shù)字。
這個(gè)天文數(shù)字到底有多大？目前的方法接近一個(gè)一個(gè)的排著試，還沒有找到更好可以尋得最短路徑的方法。對(duì)七個(gè)城而言，共有 6!=720 個(gè)排法，還比較簡(jiǎn)單；，但若有 20 個(gè)城，則排法就有 19! 種。因故在排列組合里 n! 寫起來輕松。但 1.21?10171.21?1017 是一個(gè)大得不得了的數(shù)字。若每秒鐘排一次，要排 3.84?1093.84?109 年（一年約為 3.15?1073.15?107 秒），即使使用計(jì)算器，每秒排一百萬次（不容易做到）也得重做三千年才能找到答案。「生也有涯，知也無涯」，想不到區(qū)區(qū)二十個(gè)城，要三十個(gè)世紀(jì)才能找到答案。
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4.組合最優(yōu)化問題

組合最優(yōu)化問題（combinatorial optimizationproblem）是一類在離散狀態(tài)下求極值的問題。把某種離散對(duì)象按某個(gè)確定的約束條件進(jìn)行安排，當(dāng)已知合乎這種約束條件的特定安排存在時(shí)，尋求這種特定安排在某個(gè)優(yōu)化準(zhǔn)則下的極大解或極小解的間題。

組合最優(yōu)化的理論基礎(chǔ)含線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、擬陣論和網(wǎng)絡(luò)分析等。組合最優(yōu)化技術(shù)提供了一個(gè)快速尋求極大解或極小解的方法。

多數(shù)問題屬于所謂的NP完全問題，即對(duì)該問題基本上不存在一種算法，使得當(dāng)所有的具體問題的變量和約束條件的數(shù)目?jī)烧咧蜕醮髸r(shí)，可以在容許時(shí)間（即所謂的多項(xiàng)式時(shí)間）之內(nèi)給出所要的解。

由于這類問題在生產(chǎn)實(shí)際中經(jīng)常出現(xiàn)，不能予以忽視，于是出現(xiàn)了兩類解決問題的途徑：一類是所謂的直觀算法，另一類是近似算法。隨著組合最優(yōu)化研究的進(jìn)展，一些數(shù)學(xué)分支，如組合數(shù)學(xué)、擬陣和廣義擬陣以及圖論等，也相應(yīng)地得到新的發(fā)展。
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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的NP-Hard问题及组合最优化问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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