傅立葉變換分為傅立葉級數和連續傅立葉變換

１　傅里葉級數

傅立葉級數適用于周期性函數，它能夠將任何周期性函數分解成簡單震蕩函數的集合（正弦函數和余弦函數）。

１.１　頻域和時域

舉個例子，比如說下圖：

紫色圖像是一個周期函數，粉絲圖像是將周期函數分解成多個簡單震蕩函數。

所以這個周期函數用數學公式可以表達為：

上圖中的信號是隨著時間變換的，所以稱之為時域（Time domain）

上圖就是頻域（Frequency Domain）。

頻域和時域本質上是一樣的，不過是從另外一個角度去描述信號。

１.２　傅里葉級數的標準正交基

給出傅立葉級數的公式：

φ在ｎ取奇數和偶數的時候分別是０和１

我們將公式稍作變換：

正交基的性質就是，向量乘以正交基的結果就是對應的在這個基下的維度值

１.３　正交性證明

判斷兩個向量是否正交可以用向量點乘求和等于 0 來判斷，這種方法我們稱為點積（內積）：

與向量點積不同的是，函數是連續的，假設現在有兩個函數 f 和 g，周期為 2Π，我們也想用上述連續累加的方式來使得函數內積和向量內積的概念一致，而積分正是函數累加的概念，所以我們有：

對于上面我們說的傅立葉變換后的正交基，我們容易得到：

１．３．１　１與ｓｉｎ（ｎωｔ）、１與ｃｏｓ（ｎωｔ）正交

１．３．２　ｓｉｎ（ｎωｔ）與ｃｏｓ（ｍωｔ）正交

先回顧一下積化和差公式

１．３．３　ｓｉｎ（ｎωｔ）與ｓｉｎ（ｍωｔ）正交

ｃｏｓ（ｎωｔ）與ｃｏｓ（ｍωｔ）正交的證明方法同理

２　傅里葉變換

剛剛說的都是周期性函數，但現實中大部分函數都是非周期的，那如果涉及到非周期性函數該怎么辦呢？這時候就需要傅里葉變換

２.１　歐拉公式

在介紹非周期性函數之前，我們先簡單介紹下歐拉公式。

所以坐標軸上的點現在有了另一種表示方式：

左邊圖是我們看到的旋轉頻率（頻域）

右邊圖看到是時間流逝（時域）

神奇的是，正好和我們剛剛介紹的（從時域變換到頻域）相反。

也就是說，時域和頻域其實是可以相互轉換的。

２.２　傅里葉變換

們可以將非周期函數考慮為周期無窮大的函數，考慮頻域中的橫坐標：ｆ＝１／Ｔ，當周期 T 無窮大大時，頻域圖就從離散點變為連續的曲線，如下圖：

每一個都代表了一組ｓｉｎ和ｃｏｓ的正交基（ｓｉｎωｔ和ｃｏｓωｔ）內積的結果就是在這兩個正交基上的分量。

從負無窮到正無窮就是拆分成所有周期的ｓｉｎ和ｃｏｓ

２.３　傅里葉逆變換

傅里葉變換是將信號拆成多個正弦信號。

傅里葉逆變換就是再把正弦信號逆變換為原來信號的過程。

3 傅里葉變化的應用

一個很經典的例子就是：分離、降噪。

如果男生和女生一起說話，該如何分離出兩者的聲音呢？

答案就是對這一段聲音（時域）做傅立葉變換轉換到頻率。男女生的聲音頻率不同，在頻域中，低頻為男生，中頻為女生，高頻可能為噪音，我們可以根據需要去除中頻和高頻的信號，并將其進行逆變換，這樣便分離出了男生的聲音。

參考網站

【GNN】萬字長文帶你入門 GCN - 知乎 (zhihu.com)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的GNN笔记：傅里叶变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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