1 graph和卷積

在機器學習筆記：CNN卷積神經網絡_劉文巾的博客-CSDN博客中，我們知道，因為圖像具有“管中窺豹”、“相同模式”、“降采樣”三個特點。所以我們可以用一個很小的卷積核對圖像進行卷積操作。換言之，就是圖像具有局部平移不變性。

那么graph有沒有這種性質呢？沒有

graph結構不規則，所以其不存在平移不變性。每個節點周圍的鄰居數不固定。所以傳統的CNN無法應用于網絡中。換言之，在空域上的圖，是沒法進行卷積操作的。

2.?Graph Convolution

那么，既然無法直接在空域進行卷積，可否將graph映射到頻域后再做卷積操作呢？

在GNN筆記：卷積_劉文巾的博客-CSDN博客?中，我們知道?卷積定理

我們將等號兩邊加以，有：

我們記為f的傅里葉變換結果，在GNN 筆記：圖上的傅里葉變換_劉文巾的博客-CSDN博客?中，我們知道

其中U是graph的拉普拉斯矩陣的特征向量組成的矩陣

而在線性代數中，我們還有一個結論。就是對于兩個列向量u和v，它們的內積等同于將一個的元素放到對角矩陣的對角元上（矩陣其他位置的元素為0），然后這個對角矩陣和另一個列向量坐矩陣乘法。

證明：假設原來兩個向量是?和

它們的內積結果是

我們將u的元素放到對角矩陣的對角元上，那么我們有：

這個矩陣和內積，結果就是

回到我們的圖卷積中，利用上面的結論，我們有

? ? ? ? ? ? ? ? ?

而同樣在GNN 筆記：圖上的傅里葉變換_劉文巾的博客-CSDN博客?中，我們說了圖傅里葉變換的逆變換：

那么逆變換的式子帶入圖卷積的公式中，我們有

?????????????????

那么還有一個問題，為什么上面的圖卷積公式中f就是f，h要寫成,而不是像f一樣的呢？

? ? ? ?這是因為在 GCN 中我們的卷積核（即h相關的內容）是可訓練并且參數共享的，所以在此我們可以直接將??寫成，這個便是深度學習中的可學習參數。

2.1 不足之處

這種譜域圖卷積最大的問題在于

1--計算復雜度：

（1.1） L的特征值分解

（1.2）兩次和U的乘積計算【尤其值得注意的是，即使歸一化拉普拉斯矩陣L很稀疏，特征向量組成的矩陣U還是會有很多非零元素】

2--因為這種譜域圖卷積是和特定的拉普拉斯矩陣相關的。因此它的可遷移性很差。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的GNN笔记：图卷积的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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