1 介紹

? ? ? ? 當一個實矩陣A是對稱正定矩陣的時候，它可以分解成一個下三角矩陣L以及它的轉置的乘積，即：

? 1.1 矩陣半正定的情況

????????如果矩陣是正定的話，那么L唯一確定；如果矩陣是半正定的話，那么也可以分解，不過此時L不唯一。

?2 舉例

3 使用??scipy.linalg.cholesky求解

3.1 用法

scipy.linalg.cholesky(a, lower=False, overwrite_a=False, check_finite=True)

?返回值：c：(M，M)ndarray，表示a的上三角或下三角Cholesky因子。

?3.2 參數介紹

a	(M, M) array_like 待分解的矩陣
lower	bool, 可選參數 是計算上三角Cholesky還是下三角Cholesky分解。默認值為upper-triangular
overwrite_a	bool, 可選參數 是否覆蓋a中的數據(可能會提高性能)
check_finite	bool, 可選參數 是否檢查輸入矩陣僅包含有限數。禁用可能會提高性能，但是如果輸入中確實包含無窮大或NaN，則會導致問題(崩潰，終止)。

3.3 用法舉例?

import numpy as np from scipy import linalga = np.array([[4, 12, -16],[12, 37, -43],[-16, -43, 98]]) L_lower = linalg.cholesky(a, lower=True) # 默認計算 upper， 所以指定 lower = True L_upper = linalg.cholesky(a) print(L_lower,'\n',L_upper) ''' [[ 2. 0. 0.][ 6. 1. 0.][-8. 5. 3.]] [[ 2. 6. -8.][ 0. 1. 5.][ 0. 0. 3.]] ''' print(L_lower @ L_upper) ''' [[ 4. 12. -16.][ 12. 37. -43.][-16. -43. 98.]] '''

4 平方根法求L

我們假設矩陣A可以分解成

的結果為：

• 首先我們看第一個元素：
• 然后我們看第一列的其他元素：? ? ? ? ?
• 之后，我們假設已經算出了L矩陣的前k-1列元素
  • 通過??，可以得到：
  • 進一步再由，可以得到：?
• 于是我們可以通過以上方式迭代求得L

?5 在計算機編程中?Cholesky分解的作用

?????????在計算機程序中常常用到這種方法解線性代數方程組。它的優點是存儲量很省。用矩陣A一半的存儲空間，就可以表達A的全部信息? ? ? ??

參考資料

數學之美：cholesky矩陣分解_BigCowPeking-CSDN博客_cholesky分解

Cholesky分解 - 知乎 (zhihu.com)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数笔记： Cholesky分解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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