1. 概述

在學習機器學習(machine learning)或模式識別(pattern recognition)過程中，我經常會困惑于向量、數組和矩陣這三種數據結構，而在學習張學工教授《模式識別》一書時，我又碰到了二維矩陣這個對我很模糊的概念，一生氣就自己總結一個吧。

本文如有不足不對之處，歡迎指正。

2. 數組、向量、矩陣和向量空間

2.1 ?數組

[轉載自：https://blog.csdn.net/qq_41800366/article/details/86605575]

概念：所謂數組，是有序的元素序列。
這里的概念就沒有涉及到空間了，我們通常稱的n維數組，這里的維度指的不是空間的維度，而是數據所構成的維度；
下面進行舉例說明，

一維數組
[1, 2, 3, 4]
這里的數據的維度就只有一維，也就是深度為1，怎么理解呢，比如你要取2，你要怎么做呢，只需要進入第一層，這時候你會找到1，2，3，4這四個元素，直接就能找到2這個元素。
二維數組
[[1, 2],[3, 4]]
這里的數據的維度就就有二維，也就是深度為2，怎么理解呢，比如你要取2，你要怎么做呢，首先你要進入進入第一層，這時候你找到的是[1, 2] 和 [3, 4]，然后你還得繼續往下找，再進入一層，你會找到 1，2，3，4這四個元素，然后找到2這個元素，也就是你進入了兩層才找到元素，所以深度為2，維度為二維。
三維數組
[[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]]

Note: 我個人認為數組最大的用處是在python等編程語言中實現向量、矩陣等數據結構！
這里的數據的維度就就有三維，也就是深度為3，怎么理解呢，比如你要取2，你要怎么做呢，首先你要進入進入第一層，這時候你找到的是[[1, 2], [3, 4]] 、 [[5, 6], [7, 8]] ，然后你還得繼續往下找，再進入一層，你會找到 [1, 2]、[3, 4]、[5, 6]、 [7, 8] ，然后你還得繼續往下找，再進入一層，1、2、3、4、5、6、7、8這8個元素，然后找到2這個元素，也就是你進入了三層才找到元素，所以深度為3，維度為三維。

2.2 n維向量

概念：n個有次序的數, , ····,所組成的數組稱為n維向量，這n個數稱為該向量的n個分量，第i個數稱為第i個分量。(同濟大學線性代數第五版-4.1)

n維向量可寫成一行，也可寫成一列，分別稱為行向量和列向量，也就是行矩陣和列矩陣，并規定行向量和列向量都按矩陣的運算規則進行運算。?因此，n維列向量

與n維行向量

Note: 這個解釋其實是說在線性代數中，向量和矩陣其實是一回事。不同的是矩陣論階，向量論維。

在解析幾何中，我們把“既有大小又有方向的量”叫做向量，并把可隨意平行移動的有向線段作為向量的幾何形象。

在引進坐標系以后，這種向量就有了坐標表示式— — 三個有次序的實數，也就是本書中的3維向量。因此，當　n ≤ 3 時，n維向量可以把有向線段作為幾何形象，但當n＞3 時，n 維向量就不再有這種幾何形象，只是沿用一些幾何術語罷了。

2.3?矩陣

在同濟大學線性代數第六版中，矩陣定義如下：由m×n 個數aij （i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n）排成的m 行n 列的數表

稱為m 行n 列矩陣，簡稱m×n 矩。

矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個向量的向量組；反之，一個含有限個向量的向量組總可以構成一個矩陣。因此可知向量可以組成矩陣，矩陣是包含向量的。

?

2.4?向量空間

幾何中，“空間”通常是作為點的集合，即構成“空間”的元素是點，這樣的空間叫做點空間。

我們把3 維向量的全體所組成的集合叫做3 維向量空間。

在點空間取定坐標系以后，空間中的點P（x，y，z）與3 維向量　r =（x，y，z）T 之間有一一對應的關系。

類似的，n維向量的全體所組成的集合叫做n維向量空間。

Note: 這里n維向量空間的概念應該可以理解成n x n矩陣。

在同濟大學線性代數第六版中，矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個向量的向量組；反之，一個含有限個向量的向量組總可以構成一個矩陣。例如，一個mxn矩陣的全體列向量是一個含n個m維列向量的向量組。

向量空間(同濟大學線性代數第五版)

概念：設V為n維向量的集合，如何集合V非空，且集合V對于向量的加法及乘法兩種運算封閉，那么就稱集合V為向量空間。

封閉，是指在集合V中可以進行向量的加法及乘法兩種運算。具體地說，

同濟大學線代第五版結論：(1)?其次線性方程組的解集 S={x|Ax=0} 是一個向量空間(稱為齊次線性方程組的解空間)。因此由齊次線性方程組的解的性質1.2，即知其解集S對向量的線性運算封閉。(2)非齊次線性方程組的解集 S={x|Ax=b}不是向量空間。

定義7(同濟線代第五版)

設V為向量空間，如果r個向量，且滿足

(1)?線性無關。

(2)V中任一向量都可由線性表示。

那么，向量組就稱為向量空間V的一個基，r稱為向量空間V的維數，并稱V為r維向量空間。

若把向量空間V看作向量組，則由最大無關組的等價定義可知，V的基就是向量組的最大無關組，V的維數就是向量組的秩。

2.5 二維矩陣

張學工教授《模式識別》p10

應用背景："多數癌癥并不是由單個基因的變化引起的，而是與多個基因有關系，人們希望借助基因芯片來揭示這些關系。"

"這樣，對于每個病人就獲得了成千上萬個基因表達特征，而對每個基因也獲得了它們在每個病人細胞中的表達特征。把這組芯片的數據集合起來，就形成了一個二維矩陣，其中一維是基因，另一維是病例。"

解析：單個基因表達特征明顯是一個二維向量，成千上萬的二維向量近乎組成了二維向量空間，亦即一個二維矩陣。

所以，二維矩陣的維度類似于空間向量的維數，而不是一個包含兩個元素的列矩陣。
所以，我們通常會說矩陣的維度是指矩陣的行數。

如果本文由任何不足，歡迎各位大神提出來，我會盡快修正。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器学习之数学基础(二)～数组、向量、矩阵、向量空间、二维矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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