動(dòng)態(tài)規(guī)劃，說(shuō)白了類似于高中的數(shù)學(xué)歸納法。

?

• 遞推
• 核心：窮舉。減少共有狀態(tài)或路徑的重復(fù)計(jì)算。

目錄

1. 概念理解

1.1 使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的條件

1.2 應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的步驟

1.3 DP和貪心算法區(qū)別

1.4 DP和遞歸區(qū)別

1.4.1 斐波那契遞歸實(shí)現(xiàn)

1.4.2 斐波那契動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)

2. 分類

2.1 編號(hào)動(dòng)態(tài)規(guī)劃-->最大不下降子序列

2.2 劃分動(dòng)態(tài)規(guī)劃

2.3 數(shù)軸動(dòng)態(tài)規(guī)劃：0-1背包問(wèn)題

2.4 前綴動(dòng)態(tài)規(guī)劃：最長(zhǎng)公共子序列(LCS)

3. leedcode實(shí)戰(zhàn)案例

參考

---

??????????????

動(dòng)態(tài)規(guī)劃(Dynamic Programming, DP)是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是求解決策過(guò)程最優(yōu)化的過(guò)程。美 R.Bellman在研究多階段決策過(guò)程的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，提出了著名的最優(yōu)化原理，從而創(chuàng)立了動(dòng)態(tài)規(guī)劃。

1. 概念理解

動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以簡(jiǎn)單地理解為對(duì)傳統(tǒng)遞歸的一種優(yōu)化。Dynamic Programming不是編程，而是決策。只是這種決策不是一下就出來(lái)的，而是一步步(multistage)積累出來(lái)。換句話說(shuō)我們需要一個(gè)決策，但這個(gè)決策太大了，我們做不了，所以需要把他遞歸到我們可以簡(jiǎn)單做出決策的狀態(tài)，然后從這些狀態(tài)開始，慢慢的“動(dòng)態(tài)地”演進(jìn)到最終的決策。

比如說(shuō)用最少的硬幣換零錢？

突然和你說(shuō)要換78分錢，你怎么就能迅速給出答案呢，你不能。但是如果是1分的話，你就可以，2分的話呢，就是在1分的基礎(chǔ)上再加1分，你也可以。于是你就慢慢地從1分開始一直算到78就有答案了。從另一個(gè)角度說(shuō)，如果你用DP算出了怎么換78分，那如果我問(wèn)你76分怎么換，你也應(yīng)該有答案了。

所以，DP在實(shí)踐中很重要的就是遞推關(guān)系和邊界條件。

---

已知問(wèn)題規(guī)模為n的前提A，求解一個(gè)未知解B。（我們用An表示“問(wèn)題規(guī)模為n的已知條件”）

此時(shí)，如果把問(wèn)題規(guī)模降到0，即已知A0，可以得到A0->B.

• 如果從A0添加一個(gè)元素，得到A1的變化過(guò)程。即A0->A1; 進(jìn)而有A1->A2; A2->A3; …… ; Ai->Ai+1. 這就是嚴(yán)格的歸納推理，也就是我們經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)歸納法；
• 對(duì)于Ai+1，只需要它的上一個(gè)狀態(tài)Ai即可完成整個(gè)推理過(guò)程（而不需要更前序的狀態(tài)）。我們將這一模型稱為馬爾科夫模型。對(duì)應(yīng)的推理過(guò)程叫做“貪心法”。

然而，Ai與Ai+1往往不是互為充要條件，隨著i的增加，有價(jià)值的前提信息越來(lái)越少，我們無(wú)法僅僅通過(guò)上一個(gè)狀態(tài)得到下一個(gè)狀態(tài)，因此可以采用如下方案：

• {A1->A2}; {A1, A2->A3}; {A1,A2,A3->A4};……; {A1,A2,...,Ai}->Ai+1. 這種方式就是第二數(shù)學(xué)歸納法。???????
• 對(duì)于Ai+1需要前面的所有前序狀態(tài)才能完成推理過(guò)程。我們將這一模型稱為高階馬爾科夫模型。對(duì)應(yīng)的推理過(guò)程叫做“動(dòng)態(tài)規(guī)劃法”。

上述兩種狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下圖所示：

1.1 使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的條件

該問(wèn)題是否能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決的是可以分為多個(gè)相關(guān)子問(wèn)題，這些”小問(wèn)題“會(huì)不會(huì)被被重復(fù)調(diào)用。而不是一個(gè)“大問(wèn)題”能夠被拆解為一堆“小問(wèn)題”

舉個(gè)例子，有n個(gè)階梯，一個(gè)人每一步只能跨一個(gè)臺(tái)階或是兩個(gè)臺(tái)階，問(wèn)這個(gè)人一共有多少種走法？

首先對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行抽象，n個(gè)階梯，每個(gè)階梯都代表一個(gè)“位置”，就像是圖論中的一個(gè)“點(diǎn)”，然后這n個(gè)不同位置之間會(huì)有一些橋梁把它們連接起來(lái)。==>也可以寫成列表形式，或鄰接矩陣。

idea：如果是暴力遍歷的話，從3到10的時(shí)候，你肯定會(huì)把5-10的可能路徑都算一遍，然后從4-10的時(shí)候，你又會(huì)把5-10的路徑算一遍，也就是重復(fù)計(jì)算了。

solve：創(chuàng)建一個(gè)數(shù)組a[]，專門來(lái)存放位點(diǎn)x到10的所有可能路徑數(shù)。?

?a[5] = a[6] + a[7]

a[4] = a[5] + a[6] ? ? ? ? ? ? ? ? 數(shù)學(xué)歸納法？

.......

a[x] = a[x+1] + a[x+2]

我們發(fā)現(xiàn)在計(jì)算a[4]和a[5]的時(shí)候，都用到了a[6]，也就是重復(fù)利用了結(jié)果。

==>換句話說(shuō)，如果從6-10的最優(yōu)路徑確定了，那無(wú)論是從3、4、5開始的路徑，凡是再次到達(dá)6，那么從6往后的最優(yōu)路徑就不用再重復(fù)計(jì)算了。?

1.2 應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的步驟

(1) 按順序從小到大計(jì)算。因?yàn)槿绻苯幼屇阌?jì)算f(11)，你肯定一臉懵逼，但f(0), f(1)你卻能很快理解，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

(2) 建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。求得f(n)表達(dá)式

(3) 緩存以往結(jié)果以復(fù)用。比如剛剛求得f(99)，如果不將其緩存起來(lái)，那么求f(100)時(shí)，我們就必須重新從頭計(jì)算。?

1.3 DP和貪心算法區(qū)別

?貪心：如果第一步到H和I都可以，第二步到P和Q都可以，那我每一步只選最優(yōu)，用貪心得到結(jié)果。<== 因?yàn)槟阋?jīng)歷的每個(gè)階段狀態(tài)跟決策無(wú)關(guān)，即每個(gè)階段狀態(tài)相互獨(dú)立，互不影響。

但現(xiàn)實(shí)情況是，你第一步的選擇會(huì)影響后面的分支。?

比如你第一步選擇H或I，但是到了H后，你就只能選擇經(jīng)過(guò)P或Q到Z了，而如果到了I，你只能選擇R或S到Z。

這樣一來(lái)，即便第一步到H或I你選擇了較好的一條路，也不保證最終結(jié)果最優(yōu)。?

==> 所以我們要把所有的路都嘗試一遍，才知道哪個(gè)最優(yōu)。-->窮舉

但我們只需要計(jì)算到每個(gè)共有狀態(tài)的位置，求各階段的最優(yōu)，最后每階段選最優(yōu)組合貪心組合起來(lái)就行，因?yàn)楣灿袪顟B(tài)不影響決策，即不影響最終最優(yōu)路徑選擇。對(duì)A->H->Q->Z和A->I->Q->Z，Q->Z是共有狀態(tài)。Q->Z的最優(yōu)可減少每條經(jīng)過(guò)Q的最優(yōu)路徑的重復(fù)計(jì)算，當(dāng)然可能存在A->H->Z路徑比任何一條經(jīng)過(guò)Q的路徑更短，但我們說(shuō)的是減少經(jīng)過(guò)Q往后的路徑的重復(fù)計(jì)算。?

1.4 DP和遞歸區(qū)別

1.4.1 斐波那契遞歸實(shí)現(xiàn)

# 遞歸實(shí)現(xiàn) def fib_re(n):if n < 2:return nelse:return fib_re(n-1) + fib_re(n-2)# 遞歸實(shí)現(xiàn)fib(100)時(shí)間太長(zhǎng)，我出去打個(gè)電話都沒運(yùn)算完，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃fib(100)秒算if __name__ == '__main__':result = fib_re(100)print(result)

遞歸這種方式造成棧空間極大浪費(fèi)！！！?

其指數(shù)級(jí)時(shí)間復(fù)雜度跟不能用沒啥區(qū)別！！！出個(gè)打個(gè)20分鐘的電話都沒結(jié)束

1.4.2 斐波那契動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)

# 動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn) def fib_DP(n):results = list(range(n+1))for i in range(n+1):if i < 2:results[i] = ielse:results[i] = results[i-1] + results[i-2]return results[n]if __name__ == '__main__':result = fib_DP(100)print(result)

秒算?

2. 分類

2.1 編號(hào)動(dòng)態(tài)規(guī)劃-->最大不下降子序列

2.2 劃分動(dòng)態(tài)規(guī)劃

2.3 數(shù)軸動(dòng)態(tài)規(guī)劃：0-1背包問(wèn)題

2.4 前綴動(dòng)態(tài)規(guī)劃：最長(zhǎng)公共子序列(LCS)

3. leedcode實(shí)戰(zhàn)案例

舉個(gè)例子🌰，才是最好懂的學(xué)習(xí)方式

參考

[1] 知乎：如何理解動(dòng)態(tài)規(guī)劃？

[2] 博客園：【算法復(fù)習(xí)】動(dòng)態(tài)規(guī)劃

[3] CSDN：六大算法之三：動(dòng)態(tài)規(guī)劃???????

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的python programming training(四)：动态规划的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。