動態(tài)規(guī)劃，說白了類似于高中的數(shù)學歸納法。

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• 遞推
• 核心：窮舉。減少共有狀態(tài)或路徑的重復計算。

目錄

1. 概念理解

1.1 使用動態(tài)規(guī)劃的條件

1.2 應用動態(tài)規(guī)劃的步驟

1.3 DP和貪心算法區(qū)別

1.4 DP和遞歸區(qū)別

1.4.1 斐波那契遞歸實現(xiàn)

1.4.2 斐波那契動態(tài)規(guī)劃實現(xiàn)

2. 分類

2.1 編號動態(tài)規(guī)劃-->最大不下降子序列

2.2 劃分動態(tài)規(guī)劃

2.3 數(shù)軸動態(tài)規(guī)劃：0-1背包問題

2.4 前綴動態(tài)規(guī)劃：最長公共子序列(LCS)

3. leedcode實戰(zhàn)案例

參考

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動態(tài)規(guī)劃(Dynamic Programming, DP)是運籌學的一個分支，是求解決策過程最優(yōu)化的過程。美 R.Bellman在研究多階段決策過程的優(yōu)化問題時，提出了著名的最優(yōu)化原理，從而創(chuàng)立了動態(tài)規(guī)劃。

1. 概念理解

動態(tài)規(guī)劃可以簡單地理解為對傳統(tǒng)遞歸的一種優(yōu)化。Dynamic Programming不是編程，而是決策。只是這種決策不是一下就出來的，而是一步步(multistage)積累出來。換句話說我們需要一個決策，但這個決策太大了，我們做不了，所以需要把他遞歸到我們可以簡單做出決策的狀態(tài)，然后從這些狀態(tài)開始，慢慢的“動態(tài)地”演進到最終的決策。

比如說用最少的硬幣換零錢？

突然和你說要換78分錢，你怎么就能迅速給出答案呢，你不能。但是如果是1分的話，你就可以，2分的話呢，就是在1分的基礎上再加1分，你也可以。于是你就慢慢地從1分開始一直算到78就有答案了。從另一個角度說，如果你用DP算出了怎么換78分，那如果我問你76分怎么換，你也應該有答案了。

所以，DP在實踐中很重要的就是遞推關系和邊界條件。

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已知問題規(guī)模為n的前提A，求解一個未知解B。（我們用An表示“問題規(guī)模為n的已知條件”）

此時，如果把問題規(guī)模降到0，即已知A0，可以得到A0->B.

• 如果從A0添加一個元素，得到A1的變化過程。即A0->A1; 進而有A1->A2; A2->A3; …… ; Ai->Ai+1. 這就是嚴格的歸納推理，也就是我們經常使用的數(shù)學歸納法；
• 對于Ai+1，只需要它的上一個狀態(tài)Ai即可完成整個推理過程（而不需要更前序的狀態(tài)）。我們將這一模型稱為馬爾科夫模型。對應的推理過程叫做“貪心法”。

然而，Ai與Ai+1往往不是互為充要條件，隨著i的增加，有價值的前提信息越來越少，我們無法僅僅通過上一個狀態(tài)得到下一個狀態(tài)，因此可以采用如下方案：

• {A1->A2}; {A1, A2->A3}; {A1,A2,A3->A4};……; {A1,A2,...,Ai}->Ai+1. 這種方式就是第二數(shù)學歸納法。???????
• 對于Ai+1需要前面的所有前序狀態(tài)才能完成推理過程。我們將這一模型稱為高階馬爾科夫模型。對應的推理過程叫做“動態(tài)規(guī)劃法”。

上述兩種狀態(tài)轉移圖如下圖所示：

1.1 使用動態(tài)規(guī)劃的條件

該問題是否能用動態(tài)規(guī)劃解決的是可以分為多個相關子問題，這些”小問題“會不會被被重復調用。而不是一個“大問題”能夠被拆解為一堆“小問題”

舉個例子，有n個階梯，一個人每一步只能跨一個臺階或是兩個臺階，問這個人一共有多少種走法？

首先對這個問題進行抽象，n個階梯，每個階梯都代表一個“位置”，就像是圖論中的一個“點”，然后這n個不同位置之間會有一些橋梁把它們連接起來。==>也可以寫成列表形式，或鄰接矩陣。

idea：如果是暴力遍歷的話，從3到10的時候，你肯定會把5-10的可能路徑都算一遍，然后從4-10的時候，你又會把5-10的路徑算一遍，也就是重復計算了。

solve：創(chuàng)建一個數(shù)組a[]，專門來存放位點x到10的所有可能路徑數(shù)。?

?a[5] = a[6] + a[7]

a[4] = a[5] + a[6] ? ? ? ? ? ? ? ? 數(shù)學歸納法？

.......

a[x] = a[x+1] + a[x+2]

我們發(fā)現(xiàn)在計算a[4]和a[5]的時候，都用到了a[6]，也就是重復利用了結果。

==>換句話說，如果從6-10的最優(yōu)路徑確定了，那無論是從3、4、5開始的路徑，凡是再次到達6，那么從6往后的最優(yōu)路徑就不用再重復計算了。?

1.2 應用動態(tài)規(guī)劃的步驟

(1) 按順序從小到大計算。因為如果直接讓你計算f(11)，你肯定一臉懵逼，但f(0), f(1)你卻能很快理解，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

(2) 建立狀態(tài)轉移方程。求得f(n)表達式

(3) 緩存以往結果以復用。比如剛剛求得f(99)，如果不將其緩存起來，那么求f(100)時，我們就必須重新從頭計算。?

1.3 DP和貪心算法區(qū)別

?貪心：如果第一步到H和I都可以，第二步到P和Q都可以，那我每一步只選最優(yōu)，用貪心得到結果。<== 因為你要經歷的每個階段狀態(tài)跟決策無關，即每個階段狀態(tài)相互獨立，互不影響。

但現(xiàn)實情況是，你第一步的選擇會影響后面的分支。?

比如你第一步選擇H或I，但是到了H后，你就只能選擇經過P或Q到Z了，而如果到了I，你只能選擇R或S到Z。

這樣一來，即便第一步到H或I你選擇了較好的一條路，也不保證最終結果最優(yōu)。?

==> 所以我們要把所有的路都嘗試一遍，才知道哪個最優(yōu)。-->窮舉

但我們只需要計算到每個共有狀態(tài)的位置，求各階段的最優(yōu)，最后每階段選最優(yōu)組合貪心組合起來就行，因為共有狀態(tài)不影響決策，即不影響最終最優(yōu)路徑選擇。對A->H->Q->Z和A->I->Q->Z，Q->Z是共有狀態(tài)。Q->Z的最優(yōu)可減少每條經過Q的最優(yōu)路徑的重復計算，當然可能存在A->H->Z路徑比任何一條經過Q的路徑更短，但我們說的是減少經過Q往后的路徑的重復計算。?

1.4 DP和遞歸區(qū)別

1.4.1 斐波那契遞歸實現(xiàn)

# 遞歸實現(xiàn) def fib_re(n):if n < 2:return nelse:return fib_re(n-1) + fib_re(n-2)# 遞歸實現(xiàn)fib(100)時間太長，我出去打個電話都沒運算完，而動態(tài)規(guī)劃fib(100)秒算if __name__ == '__main__':result = fib_re(100)print(result)

遞歸這種方式造成棧空間極大浪費！！！?

其指數(shù)級時間復雜度跟不能用沒啥區(qū)別！！！出個打個20分鐘的電話都沒結束

1.4.2 斐波那契動態(tài)規(guī)劃實現(xiàn)

# 動態(tài)規(guī)劃實現(xiàn) def fib_DP(n):results = list(range(n+1))for i in range(n+1):if i < 2:results[i] = ielse:results[i] = results[i-1] + results[i-2]return results[n]if __name__ == '__main__':result = fib_DP(100)print(result)

秒算?

2. 分類

2.1 編號動態(tài)規(guī)劃-->最大不下降子序列

2.2 劃分動態(tài)規(guī)劃

2.3 數(shù)軸動態(tài)規(guī)劃：0-1背包問題

2.4 前綴動態(tài)規(guī)劃：最長公共子序列(LCS)

3. leedcode實戰(zhàn)案例

舉個例子🌰，才是最好懂的學習方式

參考

[1] 知乎：如何理解動態(tài)規(guī)劃？

[2] 博客園：【算法復習】動態(tài)規(guī)劃

[3] CSDN：六大算法之三：動態(tài)規(guī)劃???????

總結

以上是生活随笔為你收集整理的python programming training(四)：动态规划的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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