精確時差估計算法（ETDE）及MATLAB實現程序

• 算法原理
• • 算法總結
  • 性能分析
  • 實驗結果

算法原理

假設兩接收站分別接收的帶噪信號為
$$\{\begin{array}{c}x(kT)=s(kT)+{\epsilon }_1(kT)\\ y(kT)=s(kT?D)+{\epsilon }_2(kT)\end{array}$$

其中延遲 $D$為分數時延，$s(kT)$ 、${\epsilon }_1(kT)$和 ${\epsilon }_2(kT)$為互不相干的寬平穩零均值高斯白噪聲隨機過程。其中分數時延可以通過對信號進行內插重建得到。為簡化模型且不失一般性，假設采樣間隔為單位時間 。故延遲信號可以通過對信號進行與sinc函數進行卷積得到。
$$y(k)=x(k?D)\text{=}\sum _{n=?\infty }^{+\infty }\sin \text{c}(n?D)x(k?D)$$
其中函數 ，$\sin \text{c}(v)=\frac{\sin (\pi v)}{\pi v}$由于理想的分數延時濾波器難以實現。一般使用加窗截斷得到其近似解，近似誤差隨濾波器階數的增加而增加，截斷后的延遲信號如下
$$y(k)=x(k?D)\text{=}\sum _{n=?M}^M\sin \text{c}(n?D)x(k?D)$$
對于ETDE算法，利用估計的延時 $\hat{D}(k)$來代替上式的真實值$D$ ，并用sinc函數代替自適應算法中的濾波器系數，通過求解瞬時均方誤差 ${\left|e(k)\right|}^2$最小值的梯度下降法的局部最優解獲得估計的分數時延值。

算法總結

$$\begin{gathered} e(k)=y(k)?\sum _{n=?M}^M\sin \text{c}(n?\hat{D}(k))x(k?D) \\ =y(k)?x(k?\hat{D}(k)) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \hat{D}(k+1)=\hat{D}(k)\text{-}2\mu \frac{?e^2(k)}{?\hat{D}(k)} \\ \text{=}\hat{D}(k)\text{-}2\mu e(k)\sum _{n=?M}^{M}f(v)x(k?D) \\ f(v)=\frac{\cos (\pi v)?\sin c(v)}{v}v=n?\hat{D}(k) \end{gathered}$$

同時保證濾波器階數M遠遠大于延時 。

性能分析

估計均方誤差的理論計算值如下
$$\begin{gathered} \mathrm{var}(\hat{D})\text{=}\frac{6\mu {\sigma }_n^2({\sigma }_s^2+{\sigma }_n^2)}{{\sigma }_s^2[3?\mu (3{\pi }^2{\sigma }_s^2+{\pi }^2{\sigma }_n^2)]} \\ or \\ \mathrm{var}(\hat{D})=\frac{6\mu {\sigma }_s^2(SNR+1)}{SNR[3SNR?\mu {\pi }^2{\sigma }_s^2(3SNR+1)]} \end{gathered}$$

實驗結果

實驗條件: $s(k)$、${\epsilon }_1(kT)$和 ${\epsilon }_2(kT)$為互不相關的寬平穩零均值寬帶高斯白噪聲隨機過程。源信號功率為單位功率，步長 $\mu =0.0003$。設置時延在$\pm 5T$ 內，濾波器階數設置為$M=10$ 可以保證可接受的截斷誤差。設置真實誤差 $D=1.7T$，迭代次數 3000次，兩接收機的信噪比均為$SNR=0dB$ 設置迭代初始估計時延為 $\hat{D}(0)\text{=}2.0T$。進行100次蒙特卡洛試驗

文獻結果

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參考文獻：
H. C. So, P. C. Ching, and Y. T. Chan, “A new algorithm for explicit adaptation of time delay,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 42, no. 7, pp. 1816–1820, Jul. 1994, doi: 10.1109/78.298289.

總結

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