本科學(xué)過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程的同學(xué)都知道快速排序最好情況下的時(shí)間復(fù)雜度

，最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜度為 。 但是大部分書上都沒有介紹如何計(jì)算快速排序的時(shí)間復(fù)雜度，今天我們就來簡單推導(dǎo)一下快速排序的時(shí)間復(fù)雜度。

• 輸入:
• 輸出:有序的
• 快速排序算法:
  • 均勻等可能的在 中抽取一個(gè)樣本 。
  • 對所有 和 進(jìn)行比較，把 劃分為如下兩個(gè)集合：

• • 遞歸的排序
  • 順序的輸出排序的

接下來介紹一些基本概念

基本概念

• 表示 中階為 的元素:例如, 和 分別是最小和最大的元素
• : 如果 和 在運(yùn)行中被比較，否則為0

那么我們可以得到快速排序算法的比較次數(shù)為:

算法所需要的比較次數(shù)也就是時(shí)間復(fù)雜度，那么快速排序的平均復(fù)雜度為

此時(shí)問題就轉(zhuǎn)換成為了計(jì)算

，設(shè) 為 和 的比較概率。

求解$ 我們可以用樹表示算法的計(jì)算過程

圖1

可以得到如下結(jié)論

• 一個(gè)子樹的根一定會(huì)和其子樹的所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行比較
• 不同子樹的節(jié)點(diǎn)不會(huì)相互比較
• 任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)最多比較一次

我們設(shè)

表示 到$ 有 個(gè)元素

圖片2

事件A為:

，即 發(fā)生比較。 事件B為:算法首次選中$ 的元素作為劃分元素 。 概率 。(上圖中最后的兩種情況作為分母)。同時(shí)我們可得 ，指的是在我們不停的使用 劃分的時(shí)候，總會(huì)有一次算法首次選中 的元素作為劃分元素 ，即事件B發(fā)生。因此可得到 ,也就是 。

計(jì)算平均時(shí)間復(fù)雜度

至此我們就得到了快速排序算法的時(shí)間復(fù)雜度為 。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的时间复杂度为on的排序算法_快速排序的时间复杂度为啥是为O(nlogn)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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