樹的最長路徑

• • • 題目：
    • 思路：
    • 求解方法：
    • 動態規劃三部曲
    • • 1）狀態定義
      • 2）狀態轉移方程
    • （1）ACWing上的問題
    • （2） POJ上的問題
    • （3） CCF-CSP上的問題

參考博文：
<1>poj總結鏈接
<2> acwing 代碼鏈接
<3> 數學證明

相關題目鏈接
ACWing
POJ：
CCF-CSP:

題目：

對于一顆n個結點的無根樹，找到一條最長路徑。（找到兩個距離最遠的點）

思路：

（樹的重心問題）
先將無根樹轉換成有根樹，即隨意找一點i作為根節點，經過i的最長路就連接著兩顆不同子樹u和v的最深葉子節點的路徑。

求解方法：

任意找一點i為根節點，找到距離該結點最遠距離的點u。
再從u出發，尋找離u最遠的節點v。u到v的距離即為樹的最長路徑。

動態規劃三部曲

1）狀態定義

dp[i] 表示以i為根節點的子樹到葉節點的最大距離

2）狀態轉移方程

邊權為1時：
dp[i] = max{dp[j] + 1}
邊權不為1時：
dp[i] = max{dp[j] + w(i)}

（1）ACWing上的問題

類型：有邊權

#include <iostream> #include <cstring> #include <vector> using namespace std;const int N = 10010; int n; int ans; struct Node {int v, dis;Node(int _v, int _dis) {v = _v;dis = _dis;} }; vector<Node> Adj[N]; int dfs(int u, int father) {//根據貪心理論，以u為根的最長路徑必然由經過不同的子樹的最長和次長int d1 = 0, d2 = 0;for (int i = 0; i < Adj[u].size(); i++) {int v = Adj[u][i].v;int dis = Adj[u][i].dis;if (v == father)continue;int d = dfs(v, u) + dis; //u->v之前的距離//dist = max(dist, d);if (d >= d1) {d2 = d1;d1 = d;} else if (d > d2) {d2 = d;}}ans = max(ans, d1 + d2);//cout << d1 << endl;return d1; }int main() {cin >> n;int a, b, c;for (int i = 0; i < n - 1; i++) {cin >> a >> b >> c;Adj[a].push_back(Node(b, c));Adj[b].push_back(Node(a, c));}dfs(1, -1);cout << ans << endl;return 0; }

（2） POJ上的問題

類型：有邊權

#include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <vector> using namespace std; const int N = 10010; int n, m;struct Node {int v, dis;Node(int _v, int _dis) {v = _v;dis = _dis;} }; vector<Node> Adj[N]; int dis[N]; int vis[N];void dfs(int u, int t) {dis[u] = t;for (int i = 0; i < Adj[u].size(); i++) {int v = Adj[u][i].v;if (vis[v] == false) {vis[v] = true;dfs(v, t + Adj[u][i].dis);}} }int main() {int u, v, w;int maxn = 0;while (cin >> u >> v >> w) {Adj[u].push_back(Node(v, w));Adj[v].push_back(Node(u, w));if (u > v) {maxn = max(maxn, u);} else {maxn = max(v, maxn);}}//cout << maxn << endl;memset(dis, 0, sizeof dis);fill(vis, vis + N, false);dfs(1, 0);int start = 0;int maxdis = 0;for (int i = 0; i <= maxn; i++) {if (dis[i] > maxdis) {start = i;maxdis = dis[i];}}memset(dis, 0, sizeof dis);fill(vis, vis + N, false);dfs(start, 0);maxdis = 0;for (int i = 0; i <= maxn; i++) {if (dis[i] > maxdis) {start = i;maxdis = dis[i];}}cout << maxdis << endl;return 0; }

（3） CCF-CSP上的問題

類型：無邊權

#include <iostream> #include <vector> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 20010; int dis[N]; // 用于存儲最遠距離 bool vis[N]; int n, m; vector<int> Adj[N];void dfs(int start, int t) {dis[start] = t;for (int i = 0; i < Adj[start].size(); i++) {if (vis[Adj[start][i]] == false) {vis[Adj[start][i]] = true;dfs(Adj[start][i], t + 1);}} }int main() {cin >> n >> m;int a;for (int i = 2; i <= n; i++) {cin >> a;Adj[i].push_back(a);Adj[a].push_back(i);}for (int i = n + 1; i <= n + m; i++) {cin >> a;Adj[a].push_back(i);Adj[i].push_back(a);}memset(dis, 0, sizeof dis);fill(vis, vis + N, false);int start = 0;int maxdis = 0;//尋找最遠點udfs(1, 0);for (int i = 1; i <= n + m; i++) {if (dis[i] > maxdis) {start = i;maxdis = dis[i];}}maxdis = 0;memset(dis, 0, sizeof dis);fill(vis, vis + N, false);dfs(start, 0);for (int i = 1; i <= n + m; i++) {if (dis[i] > maxdis) {maxdis = dis[i];}}cout << maxdis << endl;return 0; }

總結

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