蠻力法0/1背包

蠻力法

蠻力法是一種簡單直接解決問題的方法，常常直接基于問題的描述，所以蠻力法也是最容易應用的方法。

蠻力法所依賴 的基本技術是遍歷，即采用一定的策略依次處理待求解問題的所有元素，從而找出問題的解。由于其需要依次窮舉待處理的元素，因此蠻力法是一種典型的指數級時間算法。

問題

給定n個重量為{w₁,w₂,···,w_n}、價值為{v₁,v₂,···,v_n}的物品和一個容量為C的背包，0/1背包是一個求解這些物品中的一個最有價值的子集，并且能夠裝入到背包中。

應用實例

有n項可投資的項目，每個項目需要投入資金s_i，可獲利潤為v_i，現有可用資金M，應選擇那些項目來投資才能獲得最大利潤。

想法

用蠻力法解決0/1背包問題，需要考慮給定n個物品集合的所有子集，找出所有重量不超過背包容量的子集，計算每個可能子集的總價值，然后找到價值最大的子集。例如，給定4個物品的重量為{7,3,4,5}，價值為{42,12,40,25}，和一個容量為10的背包，下表為求解的過程。

序號子集總重量總價值

1	?	0	0
2	{1}	7	42
3	{2}	3	12
4	{3}	4	40
5	{4}	5	25
6	{1,2}	10	54
7	{1,3}	11	不可行
8	{1,4}	12	不可行
9	{2,3}	7	52
10	{2,4}	8	37
11	{3,4}	9	65
12	{1,2,3}	14	不可行
13	{1,2,4}	15	不可行
14	{1,3,4}	16	不可行
15	{2,3,4}	12	不可行
16	{1,2,3,4}	19	不可行

偽代碼

輸入：重量{w₁,w₂,···,w_n}，價值{v₁,v₂,···,v_n}，容量C
輸出：裝入背包的物品編號

初始化最大價值maxValue=0；結果子集S=?；

對集合{1,2,···,n}的每一個子集T，執行如下操作：
2.1 初始化背包的價值value=0；背包的重量weight=0；
2.2 對子集T的每一個元素j
2.2.1 如果weight+w_j＜C，則weight=weight+w_j；value=value+v_j；
2.2.2 否則，轉入步驟2考察下一個子集；
2.3 如果maxValue＜value，則maxValue=value；S=T；

輸出S中的各元素；

源代碼

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> //用于計算程序運算時間 #include<ctime>using namespace std;#define N 100struct goods{ int sign;//物品序號 int wight;//物品重量 int value;//物品價值 };int n, maxValue, cv, cw, C;//物品數量，價值最大，當前價值，當前重量，背包容量 int X[N],cx[N];//最終存儲狀態，當前存儲狀態 struct goods goods[N];int Force(int i) {if(i > n-1){if(maxValue < cv && cw + goods[i].wight <= C){for(int k = 0;k < n;k++)X[k] = cx[k];//存儲最優路徑maxValue = cv;}return maxValue;}cw = cw + goods[i].wight;cv = cv + goods[i].value;cx[i] = 1;//裝入背包Force(i+1);cw = cw-goods[i].wight;cv = cv-goods[i].value;cx[i] = 0;//不裝入背包Force(i+1);return maxValue; }int main() {clock_t starttime,finish; //用于計算時間double time;starttime=clock();//用于計算程序運行時間printf("物品種類n：");scanf("%d",&n);printf("背包容量C：");scanf("%d",&C);for(int i = 0; i < n; i++){printf("物品%d的重量w[%d]及其價值v[%d]：",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&goods[i].wight,&goods[i].value);}int sum1 = Force(0);printf("蠻力法求解0/1背包問題：\nX=[");for(int i = 0; i < n; i++){cout << X[i]<<" ";}printf("] 裝入總價值%d\n",sum1);finish=clock();time = (double)(finish-starttime)/1000;//時間單位為秒starttime=clock();//用于計算程序運行時間cout<<"time is:"<<time<<endl;return 0; }

算法分析

對于一個具有n個元素的集合，其子集數量是2ⁿ，所以無論生成子集的算法效率有多高，蠻力法求解0/1背包都會是一個Ω(2ⁿ)的算法。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法分析与设计——蛮力法0/1背包的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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