分治法最近點對

分治法

分治法將一個難以直接解決的大問題劃分成一些規模較小的子問題，分別求解各個子問題，再合并子問題的解得到原問題的解。

一般來說，分治法的求解過程由以下三個階段組成：

劃分：把規模為n的原問題劃分為k個規模較小的子問題。

求解子問題：各個子問題的解法與原問題的解法通常是相同的，可以用遞歸的方法求解各個子問題，有時遞歸也可以用循環來實現。

合并：把各個子問題的解合并起來，合并的代價因情況不同有很大的差異，分治算法的效率很大程度上依賴于合并的實現。

最近點對問題

問題描述

設p₁=(x₁,y₁)，p₂=(x₂,y₂)，···，p_n=(x_n,y_n)是平面上n個點構成的集合S，最近點對問題就是找出集合S中距離最近的點對。嚴格地說，最接近的點對可能多于一個，簡單起見，找出一個即可。

應用實例

假設在一個金屬片上鉆n個大小一樣的洞，如果洞的距離太近，金屬就可能會斷裂?？梢酝ㄟ^任意兩個洞的最小距離來估算金屬斷裂的概率。這種最小距離問題實際上也就是最近點對問題。

想法

最近點對的分治策略如下：

（1）劃分：將集合S分成兩個子集S₁和S₂根據平衡子問題原則，每個子集中大約有n/2個點，設集合S的最近對是p_i和p_j，則會出現以下三種情況：

p_i∈S₁，p_j∈S₁，即最近對均在集合S₁中；

p_i∈S₂，p_j∈S₂，即最近對均在集合S₂中；

p_i∈S₁，p_j∈S₂，即最近對分別在集合S₁和S₂中。

（2）求解子問題：對于劃分階段的情況1和情況2可遞歸求解，如果最近對分別在兩個子集中，在后邊做討論。

（3）合并：比較在劃分階段三種情況下的最近點對，取三者之中距離較小者為原問題的解。

下面討論劃分階段的情況3：

為了將平面上的點集S分割為點的個數大致相同的兩個集合，選取垂直線x=m來作分割線，其中m為S中各點x坐標的中位數。由此將S分割為S₁和S₂。遞歸地在S₁和S₂中求解最近對問題，分別得到S₁中的最近距離d₁和S₂中的最近距離d₂，令d=min(d₁，d₂。若S的最近對(p,q)之間的距離小于d，則p和q必定分屬于集合S₁和S₂。那么，不妨設p∈S₁，q∈S₂，則p和q距離直線x=m的距離均小于d，所以，可以將求解限制在以x=m為中心，寬為2d的垂直帶P1和P2中，垂直帶之外的任何點對之間的距離都一定大于d。

假設點p(x,y)是集合P₁和P₂中y坐標最小的點，則點p可能在P₁中也可能在P₂中，現在需要找出來和點p之間小于d的點，顯然這樣的點的y坐標一定位于區間[y,y+d]之間，而且這樣的點不會超過8個，因為P1和P2中點的相互之間的距離至少為d，如下圖所示。

所以，可以將P₁和P₂中的點按照y坐標升序排列，順序地處理P₁和P₂中的點p(x,y)，在y坐標區間[y,y+d]內最多取出8個候選點，計算它們和點p之間的距離。

算法

簡單起見，假設點集S已按照x坐標升序排列，偽代碼描述如下：

輸入：按x坐標升序排列的n個點的集合S
輸出：最近點對的距離

如果n等于2，則返回(x₁,y₁)和(x₂,y₂)之間的距離，算法結束；

劃分：m=S中各點x坐標的中位數；

d₁=計算{(x₁,y₁)，···，(x_m,y_m)}的最近對距離；

d₂=計算{(x_m,y_m)，···，(x_n,y_n)}的最近對距離；

d=min{d₁,d₂}；

依次考察集合S中的點p(x,y)，如果x<=x_m并且x>=x_m-d，則將點p放入集合P₁中；如果x>x_m并且x<=x_m+d，則將點p放入集合P₂中；

將集合P₁和P₂按y坐標升序排列；

對集合P₁和P₂中的每個點p(x,y)，在y坐標區間[y,y+d]內最多取出8個候選點，計算與點p的最近距離d₃；

返回min{d，d₃}；

源代碼

#include<iostream> #include<math.h> #include<stdlib.h>using namespace std;int M[2], N[2], P[2], Q[2];typedef struct point {double x,y; }point;void Qsortx(point *A, int low, int high){double tempx, tempy;int i = low, j = high;if(low < high){tempx = A[i].x;tempy = A[i].y;while(i != j){while(j > i && A[j].x > tempx)j--;if(i < j){A[i].x = A[j].x;A[i].y = A[j].y;i++;}while(i < j && A[i].x < tempx)i++;if(i<j){A[j].x = A[i].x;A[j].y = A[i].y;j--;}A[i].x = tempx;A[i].y = tempy;Qsortx(A,low,i-1);Qsortx(A,i+1,high);}}} void Qsorty(point *A, int low, int high){double tempx, tempy;int i = low, j = high;if(low < high){tempx = A[i].x;tempy = A[i].y;while(i != j){while(j > i && A[j].y > tempy)j--;if(i<j){A[i].x = A[j].x;A[i].y = A[j].y;i++;}while(i < j && A[i].y < tempy)i++;if(i < j){A[j].x = A[i].x;A[j].y = A[i].y;j--;}A[i].x = tempx;A[i].y = tempy;Qsorty(A,low,i-1);Qsorty(A,i+1,high);}}}double d(point p1, point p2){double dx, dy, dm;dx = p1.x - p2.x;dy = p1.y - p2.y;dm = pow(dx,2) + pow(dy,2);return sqrt(dm);}void printarry(point *points, int n){for(int i=0; i < n; i++){cout<<"("<<points[i].x<<","<<points[i].y<<")";}cout<<endl;cout<<endl;}double cp(point *S,point *Y,int low,int high){int e, r, mid, k = 0, n=high-low+1;double x0, min, minl, minr, minlr;point T[n];mid = (low + high) / 2;x0 = S[mid].x;if(n == 2){return d(S[low], S[high]);M[0] = low;M[1] = high;}if(n == 3){double d1, d2, d3;d1 = d(S[low], S[low+1]);d2 = d(S[low], S[low+2]);d3 = d(S[low+1], S[low+2]);if(d1<=d2){min = d1;M[0] = low;M[1] = low+1;}else{min = d2;M[0] = low;M[1] = low+2;}if(min > d3){min = d3;M[0] = low + 1;M[1] = low + 2;}}else{minl = cp(S, Y, low, mid);N[0] = M[0];N[1] = M[1];minr = cp(S, Y, mid+1, high);P[0] = M[0];P[1] = M[1];if(minl <= minr){min = minl;Q[0] = N[0];Q[1] = N[1];}else{min = minr;Q[0] = P[0];Q[1] = P[1];}for(int i = 0; i < n; i++){if(fabs(Y[i].x-x0) <= min){T[k].x = Y[i].x;T[k].y = Y[i].y;k++;}}minlr = 2*min;for(int i=0;i<k;i++){int jj;if((i+7) < k)jj=i+7;else jj = k;for(int j = i+1; j < jj; j++){double dd = d(T[i], T[j]);if(dd<minlr){minlr = dd;e = i;r = j;}}}if(minlr < min){min = minlr;for(int i = 0; i < n; i++){if(T[e].x == S[i].x && T[e].y == S[i].y)Q[0] = i;}for(int j = 0; j < n; j++){if(T[r].x == S[j].x && T[r].y == S[j].y)Q[1] = j;}}}return min;}int main(){int n;int f = 1;double mini;cout<<"請輸入點的個數:"<<endl;while(f){cin>>n;if(n <= 3)cout<<"非法輸入！請重新輸入："<<endl;else{f = 0;break;}}point S[n], Y[n];cout<<"請輸入這"<<n<<"個點的坐標:"<<endl;for(int i = 0; i < n; i++){cin>>S[i].x>>S[i].y;}Qsortx(S, 0, n-1);for(int i = 0; i < n; i++){Y[i].x = S[i].x;Y[i].y = S[i].y;}Qsorty(Y, 0, n-1);printarry(S, n);printarry(Y, n);mini = cp(S, Y, 0, n-1);cout<<"最近的兩個點是："<<endl;cout<<"("<<S[Q[0]].x<<","<<S[Q[0]].y<<")"<<"<----->"<<"("<<S[Q[1]].x<<","<<S[Q[1]].y<<")"<<endl;cout<<endl;cout<<"最近點對的距離為:"<<mini<<endl;system("pause");return 0;}

算法分析

應用分治算法求解含有n個點的最近對問題，由于劃分階段的情況1和情況2可遞歸求解，情況3的時間代價是O(n)，合并子問題解的時間代價是O(1)，則算法的時間復雜度可由下邊的遞推式表示：

可得T(n)=O(nlogn)。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法分析与设计——分治法最近点对的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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